Exercícios Resolvidos de Campo Magnético Gerado por uma Bobina

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Enunciado

A figura abaixo mostra a seção reta de duas bobinas circulares com raio R , cada uma delas com N espiras que conduzem uma corrente I no mesmo sentido. A distância entre as bobinas é igual ao raio s = R das bobinas. As bobinas dessa configuração denominam-se bobinas de Helmholtz e produzem um campo magnético bastante uniforme na região entre elas. O ponto P está à mesma distância do centro de cada uma das duas bobinas.

  1. Deduza uma expressão para o módulo do campo magnétido em um ponto situado a uma distância z à direita do ponto P , que está no centro de simetria das bobinas.
  2. Usando a expressão obtida no item a), obtenha o módulo do campo magnético exatamente sobre o ponto P .
  3. Calcule o valor do módulo do campo magnético no ponto P , considerando N = 300 espiras, I = 6,0   A e R = 8,0   c m .

Passo 1

A gente viu várias vezes aqui durante os exercícios de fixação, que o módulo campo magnético produzido por uma bobina compacta no ponto z sobre o eixo de simetria, abaixo ou acima do plano da bobina, pode ser calculado como N vezes o campo produzido em z por uma única espira, ou seja,

B → = B z   z ^ = N × μ 0 I R 2 2 z 2 + R 2 3 2 z ^ .

Note que, independente de o ponto z estar à esquerda ou direita do plano da bobina, o campo magnético no ponto z aponta na direção e sentido de   z ^ , pois tomamos o sentido da corrente como está indicado na figura. Tranquilo? Dá uma checada nisso, porque isso é muito importante para a gente resolver este exercício aqui!! Guarda no coração isso...\0/

Passo 2

a) Bom, pra gente obter uma expressão para o campo no ponto a uma distância z à direita do ponto P da figura, precisamos notar que, a espira da esquerda produz um campo magnético no ponto z ' = R / 2 + z   que é dado por

B z ' = R 2 + z = N μ 0 I R 2 2 ( z + R / 2 ) 2 + R 2 3 2

e a espira da direita produz um campo magnético em z " = R / 2 - z dado por

B z " = R 2 - z = N μ 0 I R 2 2 ( R / 2 - z ) 2 + R 2 3 2 .

Portanto, como os dois campos acima apontam na mesma direção e sentido dado por   z ^ , o campo resultante no ponto z à direita de P é B z , r e s = B z ' = R 2 + z + B z " = R 2 - z tem a seguinte expressão:

B z , r e s = N μ 0 I R 2 2 1 z + R 2 2 + R 2 3 2 + 1 z - R 2 2 + R 2 3 2 .

Essa é a expressão geral para o módulo do campo magnético em qualquer ponto sobre o eixo que passa pelo centro das duas bobinas!

CUIDAAAADOOOOOO: tá escrito aí que: CAMPO MAGNÉTICO EM QUALQUER PONTO SOBRE O EIXO QUE PASSA PELO CENTRO DAS DUAS ESPIRAS SEPARADAS POR s = R

Fica de olho nisso...

Passo 3

b) Para gente saber como é o campo no ponto P , basta fazer z = 0 na expressão acima para B z , r e s , o que nos dá o seguinte:

B z = 0 , r e s = N μ 0 I R 2 2 1 R 2 2 + R 2 3 2 + 1 R 2 2 + R 2 3 2 = N μ 0 I R 2 2 2 5 R 2 4 3 2 .

Se simplificamos essa expressão, obtemos que

B z = 0   ,     r e s = 4 5 3 2 N μ 0 I R   .

Passo 4

c) Com os valores dados no enunciado, encontramos que o campo no ponto P   ( z = 0 ) tem o seguinte valor

B z = 0 , r e s = 4 5 3 2 × 300 × 4 π × 10 - 7 × 6 8 × 10 - 2 = 0,0202   T .

Resposta

  1. B z , r e s = N μ 0 I R 2 2 1 z + R 2 2 + R 2 3 2 + 1 z - R 2 2 + R 2 3 2 .  
  2. B z = 0   ,     r e s = 4 5 3 2 N μ 0 I R   .
  3. B z = 0 , r e s = 0,0202   T .

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