Exercícios Resolvidos de Campo Magnético Gerado por uma Bobina

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Enunciado

Os diagramas mostram três espiras que consistem em arcos circulares concêntricos (metade ou um quarto de círculos de raios R , 2 R e 3 R ) e comprimentos radiais. Os circuitos conduzem a mesma corrente no mesmo sentido. Classificá-las de acordo com as magnitudes dos campos magnéticos que produzem em C , de menor a maior.

(a) 1 ,   2 ,   3

(b) 1 ,   3 ,   2

(c) 3 ,   2 ,   1

(d) 2 ,   3 ,   1

(e) 2 ,   1 ,   3

Passo 1

Aqui, vamos usar que o campo gerado pela espira é dado por:

B = μ 0 i 4 π r 2 l

Onde r é a distância da espira para o ponto C e l é o comprimento do arco que estamos analisando.

Também é bom lembrarmos como fazemos para encontrar o comprimento de um arco:

l = r Δ θ

Isso é, o comprimento do arco é igual ao raio multiplicado pelo ângulo do arco (em radianos!).

Passo 2

Para a figura 1 , teremos dois comprimentos de arco que geram campo no ponto C .

O campo gerado pelo arco I será:

B I = μ 0 i 4 π 3 R 2 l

Onde l será:

l = r Δ θ → l = 3 R π

Portanto, temos:

B I = μ 0 i 4 π 3 R 2 3 R π

B I = μ 0 i 4 × 3 R = μ o i 12 R  

O campo gerado pelo arco I I será:

B I I = μ o i 4 π R 2 l

Onde l será:

l = R π

Portanto, temos:

B I I = μ o i 4 π R 2 R π

B I I = μ o i 4 R

Olhando novamente para a figura, vemos que pela regra da mão direita, os campos gerados serão somados (no caso da figura, os dois campos estariam saindo do plano da página).

Por isso, o campo magnético total no ponto C será a soma dos dois campos.

B 1 = B I + B I I

B 1 = μ 0 i 12 R + μ 0 i 4 R = μ 0 i 3 R

Passo 3

Para a figura 2 , temos os seguintes arcos que geram campo:

Que são os mesmos arcos da figura 1, e portanto os campos magnéticos gerados são o mesmo:

B I = μ 0 i π 12 π R

B I I = μ 0 i π 4 π R

No entanto, se olharmos para a figura, vemos que pela regra da mão direita, o campo gerado pelos arcos no ponto C são contrários (no caso da figura, o arco I gera um campo para fora da página e o arco I I gera um campo para dentro da página).

Por conta disso, o campo magnético total no ponto C será a subtração dos dois campos:

B 2 = B I I - B I

(Nessa ordem para obtermos um valor positivo, afinal, só queremos a magnitude do campo).

B 2 = μ 0 i 4 R - μ 0 i 12 R = μ 0 i 6 R

Passo 4

Para a figura 3 , temos 3 arcos que geram campo magnético no ponto C :

O arco I é o mesmo arco dos casos anteriores e o seu campo vai ser:

B I = μ 0 i 12 R

O arco I I vai ter o campo dado por:

B I I = μ o i 4 π R 2 l

Onde o comprimento do arco será:

l = R π 2

Portanto, teremos:

B I I = μ o i 4 π R 2 R π 2 = μ o i 8 R

Finalmente, o arco I I I vai ter o campo dado por:

B I I I = μ o i 4 π 2 R 2   l

Onde o comprimento do arco será:

l = 2 R π 2 = R π

Portanto, teremos:

B I I I = μ 0 i 4 π 4 R 2   R π = μ 0 i 16 R

Agora, precisamos voltar no desenho e verificar a direção desses campos.

Pela regra da mão direita, vemos que o campo gerado pelo arco I é contrário aos gerados pelo arco I I e pelo I I I . (No caso da figura, o campo gerado por I sai do plano da página e os gerados por I I e I I I entram no plano da página).

Por conta disso, o campo total será:

B 3 = B I I + B I I I - B I

(Nessa ordem para obtermos um valor positivo.)

B 3 = μ o i 8 R + μ 0 i 16 R - μ 0 i 12 R = 5 48 μ 0 i R  

Passo 5

Classificando a magnitude dos campos, teremos:

B 1 = μ 0 i 3 R   ; B 2 = μ o i 6 R   ; B 3 = 5 μ o i 48 R

Para sabermos a ordem, colocamos todos no mesmo denominador:

B 1 = 16 μ 0 i 48 R   ; B 2 = 8 μ o i 48 R   ; B 3 = 5 μ o i 48 R

Colocando em ordem crescente, do menor para o maior, teremos:

5 μ o i 48 R < 8 μ o i 48 R < 16 μ 0 i 48 R

Portanto,

B 3 < B 2 < B 1

Letra c)

Resposta

(c)

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