Exercícios Resolvidos de Campo Magnético Gerado por uma Bobina

Ver Teoria

Enunciado

Os diagramas mostram três espiras que consistem em arcos circulares concêntricos (metade ou um quarto de círculos de raios R , 2 R e 3 R ) e comprimentos radiais. Os circuitos conduzem a mesma corrente no mesmo sentido. Classificá-las de acordo com as magnitudes dos campos magnéticos que produzem em C , de menor a maior.

(a) 1 ,   2 ,   3

(b) 1 ,   3 ,   2

(c) 3 ,   2 ,   1

(d) 2 ,   3 ,   1

(e) 2 ,   1 ,   3

Passo 1

Aqui, vamos usar que o campo gerado pela espira é dado por:

B = μ 0 i 4 π r 2 l

Onde r é a distância da espira para o ponto C e l é o comprimento do arco que estamos analisando.

Também é bom lembrarmos como fazemos para encontrar o comprimento de um arco:

l = r Δ θ

Isso é, o comprimento do arco é igual ao raio multiplicado pelo ângulo do arco (em radianos!).

Passo 2

Para a figura 1 , teremos dois comprimentos de arco que geram campo no ponto C .

O campo gerado pelo arco I será:

B I = μ 0 i 4 π 3 R 2 l

Onde l será:

l = r Δ θ → l = 3 R π

Portanto, temos:

B I = μ 0 i 4 π 3 R 2 3 R π

B I = μ 0 i 4 × 3 R = μ o i 12 R  

O campo gerado pelo arco I I será:

B I I = μ o i 4 π R 2 l

Onde l será:

l = R π

Portanto, temos:

B I I = μ o i 4 π R 2 R π

B I I = μ o i 4 R

Olhando novamente para a figura, vemos que pela regra da mão direita, os campos gerados serão somados (no caso da figura, os dois campos estariam saindo do plano da página).

Por isso, o campo magnético total no ponto C será a soma dos dois campos.

B 1 = B I + B I I

B 1 = μ 0 i 12 R + μ 0 i 4 R = μ 0 i 3 R

Passo 3

Para a figura 2 , temos os seguintes arcos que geram campo:

Que são os mesmos arcos da figura 1, e portanto os campos magnéticos gerados são o mesmo:

B I = μ 0 i π 12 π R

B I I = μ 0 i π 4 π R

No entanto, se olharmos para a figura, vemos que pela regra da mão direita, o campo gerado pelos arcos no ponto C são contrários (no caso da figura, o arco I gera um campo para fora da página e o arco I I gera um campo para dentro da página).

Por conta disso, o campo magnético total no ponto C será a subtração dos dois campos:

B 2 = B I I - B I

(Nessa ordem para obtermos um valor positivo, afinal, só queremos a magnitude do campo).

B 2 = μ 0 i 4 R - μ 0 i 12 R = μ 0 i 6 R

Passo 4

Para a figura 3 , temos 3 arcos que geram campo magnético no ponto C :

O arco I é o mesmo arco dos casos anteriores e o seu campo vai ser:

B I = μ 0 i 12 R

O arco I I vai ter o campo dado por:

B I I = μ o i 4 π R 2 l

Onde o comprimento do arco será:

l = R π 2

Portanto, teremos:

B I I = μ o i 4 π R 2 R π 2 = μ o i 8 R

Finalmente, o arco I I I vai ter o campo dado por:

B I I I = μ o i 4 π 2 R 2   l

Onde o comprimento do arco será:

l = 2 R π 2 = R π

Portanto, teremos:

B I I I = μ 0 i 4 π 4 R 2   R π = μ 0 i 16 R

Agora, precisamos voltar no desenho e verificar a direção desses campos.

Pela regra da mão direita, vemos que o campo gerado pelo arco I é contrário aos gerados pelo arco I I e pelo I I I . (No caso da figura, o campo gerado por I sai do plano da página e os gerados por I I e I I I entram no plano da página).

Por conta disso, o campo total será:

B 3 = B I I + B I I I - B I

(Nessa ordem para obtermos um valor positivo.)

B 3 = μ o i 8 R + μ 0 i 16 R - μ 0 i 12 R = 5 48 μ 0 i R  

Passo 5

Classificando a magnitude dos campos, teremos:

B 1 = μ 0 i 3 R   ; B 2 = μ o i 6 R   ; B 3 = 5 μ o i 48 R

Para sabermos a ordem, colocamos todos no mesmo denominador:

B 1 = 16 μ 0 i 48 R   ; B 2 = 8 μ o i 48 R   ; B 3 = 5 μ o i 48 R

Colocando em ordem crescente, do menor para o maior, teremos:

5 μ o i 48 R < 8 μ o i 48 R < 16 μ 0 i 48 R

Portanto,

B 3 < B 2 < B 1

Letra c)

Resposta

(c)

Exercícios de Livros Relacionados

79- Uma bobina de alto-falante. Na seção 27.7 , mostramos que era igua
87- Uso da Lei de Gauss do magnetismo. Em uma certa região do espaço,
Uma espira quadrada de lado a conduz uma corrente i . Mostre que o mód
Um solenóide de comprimento 30 cm, raio 1,2 cm e 300 voltas, conduz co