Exercícios Resolvidos de Conservação da Velocidade e Posição do Centro de Massa

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Enunciado

Uma bola de gude de 10,0   g   desloca-se com velocidade de 0,400   m / s   da direita para a esquerda sobre uma pista horizontal sem atrito e colide frontalmente com a outra bola de gude de 30,0   g   que se desloca com velocidade de 0,200   m / s   da esquerda para a direita (figura abaixo). (a) Determine o módulo, a direção e o sentido de cada bola de gude depois da colisão (como a colisão é frontal, todos os movimentos ocorrem ao longo da mesma linha reta). (b) Calcule a variação do momento linear (isto é, o momento linear depois da colisão menos o momento linear antes da colisão) para cada bola de gude. Compare os valores obtidos para cada bola de gude. (c) Calcule a variação de energia cinética (isto é, a energia cinética depois da colisão menos a energia cinética antes da colisão) para cada bola de gude. Compare os valores obtidos para cada bola de gude.

Passo 1

Falaaa, gente linda! Tudo certo com vocês? Essa questão parece complicadinha, eu sei… 

Sai pra lá gatinho, quero você aqui feliz e animado, igual nossos alunos do Responde Aí. Assim, olha:

Ok, agora que temos alunos e gatinhos felizes, podemos seguir com a questão hehehe.

Temos a seguinte situação: uma bolinha de gude de 10,0   g se choca frontalmente com outra bolinha de gude de 30,0   g sobre uma pista horizontal sem atrito. Em virtude disso, temos que responder a alguns questionamentos. No item a) temos que determinar qual será o módulo (intensidade), a direção e o sentido de cada bola de gude após a colisão. Então eu pergunto a vocês, por onde começamos nesse tipo de problema???

Bom, vamos utilizar a lei de conservação do momento linear, uma vez que a questão não menciona forças externas atuando sobre essas bolinhas. E como essa colisão acontece horizontalmente, basta encontrarmos a velocidade das bolinhas após a colisão para o eixo   x . Assim,

p → 1 , x = p → 2 , x

E como p → = m v → , então podemos escrever o seguinte:

m A v A , 1 x + m B v B , 1 x = m A v A ,   2 x + m B v B , 2 x

Onde,

m A : massa da bolinha mais pesada;

m B : massa da bolinha mais leve;

v A , 1 x : velocidade inicial da primeira bolinha;

v B , 1 x : velocidade inicial da segunda bolinha;

v A ,   2 x : velocidade após colisão da primeira bolinha;

v B , 2 x : velocidade após colisão da segunda bolinha;

Agora sabendo o que significa cada incógnita, vamos substituir os valores correspondentes.

Considerando, para as velocidades, o sentido positivo como sendo da esquerda para a direita, vem:

30 ⋅ 10 - 3   k g 0,200 m s + 10 ⋅ 10 - 3   k g - 0,400 m s = 30 ⋅ 10 - 3   k g v A , 1 x +   10 ⋅ 10 - 3   k g v B , 2 x

6,0   ⋅ 10 - 3 k g ⋅ m s   - 4,0 ⋅ 10 - 3 k g ⋅ m s   = 30 ⋅ 10 - 3   k g v A , 1 x +   10 ⋅ 10 - 3   k g v B , 2 x  

3 v A , 1 x + v B , 2 x = 0,200 m s

Como temos duas incógnitas precisamos de outra equação para podermos descobrir o valor de cada uma das velocidades. Belezinha?

Passo 2

Vamos precisar relembrar algo fundamental da teoria de colisões. Quando temos uma colisão retilínea e elástica entre dois corpos, a velocidade relativa entre os corpos antes da colisão será o oposto da velocidade relativa após a colisão. Vamos escrever isso,

v B , 2 x - v A , 2 x =   - v B , 1 x - v A , 1 x

Substituindo com os valores do enunciado, temos que:

v B , 2 x - v A , 2 x =   - - 0,400 m s - 0,200 m s  

v B , 2 x - v A , 2 x =   - ( - 0,600 m s )

v B , 2 x - v A , 2 x = 0,600 m s

Coisaaa linda! Agora temos duas equações com duas incógnitas.

3 v A , 1 x + v B , 2 x = 0,200   m / s   v B , 2 x - v A , 2 x = 0,600   m / s

Passo 3

Resolvendo o sistema abaixo pelo método da adição:

3 v A , 1 x + v B , 2 x = 0,200   m / s   v B , 2 x - v A , 2 x = 0,600   m / s

-   4 v A , 2 x = 0,400   m / s

v A , 2 x =   - 0,100   m / s

E v B , 2 x será:

v B , 2 x - v A , 2 x = 0,600   m / s

v B , 2 x - ( - 0,100   m / s ) = 0,600   m / s

v B , 2 x = 0,500   m / s

Showw de bolinhas hahaha! Como tínhamos atribuído que o sentido positivo era da esquerda para a direita, isso significa que após a colisão as bolinhas modificam os sentidos dos seus movimentos. Logo, passam a se movimentar no sentido contrário ao que tínhamos inicialmente.

Passo 4

No item b) devemos calcular a variação do momento linear para cada bolinha de gude. Sabemos que o momento linear é dado por p → x = m v → x . Pensando nisso podemos dizer que a variação do momento linear para a primeira bolinha vai ser dado por:

Δ p A x = m A v A , 2 x - m A v A , 1 x

Δ p A x = 30 ⋅ 10 - 3   k g ( - 0,100   m / s - 0,200   m / s )

Δ p A x =   - 0,00900   k g ⋅ m / s

Já para a segunda bolinha de gude:

Δ p B x = m B v B , 2 x - m B v B , 1 x

Δ p B x = 10 ⋅ 10 - 3   k g ( 0,500   m / s - - 0,400   m / s )

Δ p B x = 0,00900   k g ⋅ m / s

Conclui-se que em módulo a variação de momento linear para ambos é a mesma. O sinal de " - " indica apenas o sentido para o qual a bolinha seguiu após a colisão.

Passo 5

No item c) nos é solicitado a variação da energia cinética para cada bolinha de gude. Isso significa que devemos descobrir qual foi a energia armazenada com a colisão entre as bolinhas.

Assim, para a bolinha de maior massa temos que:

Δ K A = 1 2 m A v A , 2 x 2 - 1 2 m A v A , 1 x ²

Δ K A = 1 2 ( 30 ⋅ 10 - 3   k g ) 0,100 m s 2 - 1 2 ( 30 ⋅ 10 - 3   k g ) 0,200   m / s ²

Δ K A =   - 4,5 ⋅ 10 - 4   J

E para a segunda bolinha:

Δ K B = 1 2 m B v B , 2 x 2 - 1 2 m B v B , 1 x ²

Δ K B = 1 2 ( 10 ⋅ 10 - 3 ) 0,500 m s 2 - 1 2 ( 10 ⋅ 10 - 3   k g ) 0,400   m / s ²

Δ K B = 4,5 ⋅ 10 - 4   J

Observa-se que a quantidade de energia que uma bolinha recebe é a mesma quantidade de energia em módulo que a outra bolinha perde. Em síntese, podemos concluir que quando ocorrem colisões elásticas entre corpos há uma troca de energia entre os mesmos, de modo que a energia mecânica do sistema não varia.

Tudo bem??? Ótimo :)

Bons Estudos e até mais !

Resposta

a) v A , 2 x =   - 0,100   m / s

v B , 2 x = 0,500   m / s

b) Δ p A x =   - 0,00900   k g ⋅ m / s

Δ p B x = m B v B , 2 x - m B v B , 1 x

c) Δ K A =   - 4,5 ⋅ 10 - 4   J

Δ K B = 4,5 ⋅ 10 - 4   J

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