Exercícios Resolvidos de Conservação da Velocidade e Posição do Centro de Massa

Um homem de massa M / 3 está em pé sobre uma das extremidades de uma prancha que flutua num lago de águas calmas. A massa da prancha, que é distribuída de maneira uniforme em seu comprimento L , é M . O homem começa a andar em direção à outra extremidade da prancha. Desprezando o atrito entre água e a prancha, determine a distância D   que a prancha percorre durante o percurso do homem de uma extremidade à outra da prancha.

(a) D = L 4

(b) D = L 2

(c) D = 0

(d) D = L

(e) D = L 8

(f) D = 2 L 3

Passo 1

Vamos começar com um desenho da situação. O homem se encontra parado na extremidade de uma prancha:

Como esse sistema está inicialment em equilíbrio, a força resultante externa é nula.

Mas e quando ele começar a se mover?

Quando o homem caminha sobre a tábua, ele exerce uma força na tábua para a esquerda, porém, a tábua exerce uma força de mesma intensidade no homem para a direita (ação e reação). Assim, essas forças se anulam (são forças internas) e o nosso sistema continua em equilíbrio.

Então, podemos considerar que o momento linear se conserva.

Mas pra que eu falei isso tudo?

Ah, é porque se o nosso sistema estava em repouso inicialmente, quando o homem caminha sobre a prancha, o nosso sistema continuará em repouso e, assim, a posição do centro de massa estará no mesmo lugar.

Podemos usar isso para achar uma relação entre o quanto cada um dos dois (homem e prancha) se deslocou.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando a posição do centro de massa.

Vamos considerar a origem na posição em que a extremidade esquerda da prancha se encontra:

A posição do homem será:

x h = 0

Como a prancha tem sua massa distribuida uniformemente (homogênea), podemos concetrar sua massa no seu ponto médio, logo a posição do centro de massa da prancha é:

x p = L 2

Com isso, podemos calcular a posição do centro de massa do conjunto:

x C M = x h m h + x p m p m h + m p

x C M = 0 M 3 + L 2 M M 3 + M

x C M = L / 2 M 4 / 3 M

x C M = 3 L 8

Passo 3

Agora, vamos olhar para a situação após o homem se deslocar até a outra extremidade da prancha.

A prancha se deslocou D para a esquerda da origem, então a posição de seu centro de massa será:

x p = L 2 - D

Agora dá uma olhada no homem:

Se a prancha recuou uma distância D , sua posição com relação à origem será:

x h = L - D

Então, podemos dizer que a posição do centro de massa nesse sistema se encontra na mesma posição que já calculamos e assim conseguimos achar a distância D .

x C M = x h m h + x p m p m h + m p = 3 L 8

L - D M 3 + L 2 - D M M 3 + M = 3 L 8

Cortanto M e multiplicando cruzado, temos:

L 1 3 + 1 2 - D 1 3 + 1 = 3 L 8 1 3 + 1

5 L 6 - 4 D 3 = 3 L 8 4 3

4 D 3 = 5 L 6 - L 2

4 D 3 = 2 L 6

D = L 4

Logo, a prancha se desloca uma distância igual a L / 4 .

Resposta

Letra (a)

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