Exercícios Resolvidos de Conservação da Velocidade e Posição do Centro de Massa

Uma partícula de massa m desloca-se sobre uma mesa horizontal, sem atrito, com velocidade v → 0 . Num certo instante ela se desintegra espontaneamente em três fragmentos de massas m / 6 , m / 2 e m / 3 com velocidades v → 1 , v → 2 e v → 3 , com v → 2 na mesma direção e sentido oposto a v → 3 e perpendicular a v → 1 e v → 0 como mostrado na figura abaixo. O módulo da velocidade do fragmento de massa m / 3 é 3 v 0 . Em termos dos dados do problema, m e v 0 , e utilizando o sistema de eixos da figura determine:

a) Os vetores velocidade v → 1 e v → 2 .

b) Os vetores velocidade dos fragmentos em relação ao referencial do centro de massa do sistema.

Passo 1

Quando essa partícula se desintegra em fragmentos, podemos tratar como se fosse uma colisão e dizer que seu momento linear se conserva:

p → 0 = p →

Mas por que se conserva?

Como a mesa está na horizontal, as únicas forças externas atuando sobre a partícula/fragmentos (peso e normal) se cancelam, não tendo uma força resultante externa atuando.

Na letra (a), queremos achar v → 1 e v → 2 , então vamos aplicar na conservação do momento linear.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Podemos trabalhar separadamente com o momento linear na direção do eixo x e o momento na direção do eixo y .

Vamos começar com o eixo x :

p x 0 = p x

Inicialmente, temos apenas o momento linear da partícula, com velocidade na horizontal:

p x 0 = m v 0

Enquanto no final, o único fragmento com velocidade na horizontal é o com velocidade v → 1 :

p x = m 6 v 1

Então, ficamos com:

m v 0 = m 6 v 1

v 1 = 6 v 0

Achamos o módulo da velocidade v → 1 . Escrevendo vetorialmente, essa velocidade ganhará o vetor unitário i ^ , pois está na horizontal.

v → 1 = 6 v 0 i ^

Passo 3

Vamos partir para o eixo y , agora:

p y 0 = p y

Inicialmente não há nenhuma componente de velocidade na vertical, então:

p y 0 = m 0 = 0

Já no final, temos tanto o fragmento com v → 2 quanto o fragmento com v → 3 :

p y = m 3 v 3 - m 2 v 2

Igualando os momentos lineares inicial e final:

0 = m 3 v 3 - m 2 v 2

v 2 2 = v 3 3

O enunciado nos deu que v 3 = 3 v 0 :

v 2 2 = 3 v 0 3

v 2 = 2 v 0

Escrevendo os dois vetorialmente, vamos acrescentar o vetor unitário j ^ , pois as velocidades estão na vertical. Lembrando que v → 2 está para baixo, então ela é negativa:

v → 2 = - 2 v 0 j ^

Passo 4

Já na letra (b), queremos a velocidade de cada fragmento com relação ao centro de massa do sistema.

Para isso, precisamos calcular a V → C M para esse sistema.

Poderíamos fazer isso a partir da fórmula de velocidade do centro de massa, que é nada menos do que uma média entre as velocidades de cada fragmento:

V → C M = m 1 v → 1 + m 2 v → 2 + m 3 v → 3 m 1 + m 2 + m 3

Porém, tem um jeito bem mais simples de descobrir essa velocidade do centro de massa...

Lembra que o momento linear do sistema se conserva antes e depois da fragmentação?

Sim, né.

Então, como o momento linear do sistema se conserva, isso significa que a velocidade do centro de massa V → C M também se conserva.

Ou seja, podemos em vez de olhar para a situação depois da fragmentação, podemos olhar para um instante anterior a isso.

Inicialmente o sistema é apenas a partícula andando com velocidade v → 0 , logo a velocidade do centro de massa será a própria velocidade da partícula:

V → C M = v → 0

Passo 5

Agora que já sabemos a velocidade do centro de massa, podemos encontrar a velocidade relativa de cada um dos fragmentos.

Basta pegar a velocidade de cada fragmento com relação a um observador externo e subtrair da velocidade do centro de massa com relação ao mesmo observador externo:

v → x x / C M = v → x x - V → C M

Então, para o primeiro fragmento:

v → 1 / C M = v → 1 - V → C M

v → 1 / C M = 6 v 0 i ^ - v 0 i ^

v → 1 / C M = 5 v 0 i ^

Já o segundo fragmento:

v → 2 / C M = v → 2 - V → C M

v → 2 / C M = - 2 v 0 j ^ - v 0 i ^

v → 2 / C M = - v 0 i ^ + - 2 v 0 j ^

E por últiimo, o terceiro fragmento:

v → 3 / C M = v → 3 - V → C M

v → 3 / C M = 3 v 0 j ^ - v 0 i ^

v → 3 / C M = - v 0 i ^ + 3 v 0 j ^

Resposta

(a)

v → 1 = 6 v 0 i ^

v → 2 = - 2 v 0 j ^

(b) v → 1 / C M = 5 v 0 i ^

v → 2 / C M = - v 0 i ^ + - 2 v 0 j ^

v → 3 / C M = - v 0 i ^ + 3 v 0 j ^

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