Exercícios Resolvidos de Conservação da Velocidade e Posição do Centro de Massa

Seja a colisão entre uma esfera A de massa 4,00   k g , cujo vetor posição é dado por r → A ( t ) = ( - 8 + 4 t ) i ^ + ( 6 - 3 t ) j ^   [ m ] e outra esfera B de massa 3,00   k g e vetor posição é dado por r → B ( t ) = ( - 24 + 12 t ) i ^ + ( - 18 + 9 t ) j ^   [ m ] . Imediatamente após a colisão, a esfera B adquire uma velocidade de módulo v B = 8,00   m / s e faz um ângulo de - 20 o em relação ao eixo x positivo. Considere o sistema isolado. Justifique suas respostas.

(a) Dado que o momento total do sistema imediatamente antes da colisão é P → i = 52 i ^ + 15 j ^   [ k   g m / s ] , determine a velocidade do centro de massa v → c m imediatamente após a colisão.

(b) Determine a velocidade da esfera A imediatamente após a colisão.

(c) Determine se a colisão foi elástica ou inelástica.

Passo 1

(a)Conservação do momento linear para o centro de massa

Prestou bastante atenção no enunciado? Nada de forças externas atuando, não é mesmo? Então podemos trabalhar com a conservação do momento linear pro centro de massa do sistema de partículas. Dá uma olhada:

P i c m = P f c m

Vamos considerar como “inicial” o momento imediatamente antes da colisão e “final” imediatamente após a colisão. Então para um sistema de massa total M , vamos ter:

P i c m = M v f c m

v f c m = P i c m M

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituir por valores conhecidos

Achou que tinha acabado? Não acabou não, mas não falta muito! Com a expressão encontrada no passo anterior, falta só substituir os valores! Veja:

v → f c m = p → i c m M

v → f c m = 52 i ^ + 15 j ^ 3 + 4

v → f c m = 52 7 i ^ + 15 7 j ^

v → f c m = 7,43   i ^ + 2,14   j ^   m / s

Passo 3

(b)Conservação do momento linear para o sistema

Usamos antes a conservação do momento linear para o centro de massa do sistema de partículas, não foi? E se usássemos para o sistema todo, como ficaria? Vamos dar uma olhada nisso:

P → i = P → f

52 i ^ + 15 j ^ = 4 v → A f + 3 v → B f

Então fica atento porque pra achar v → A f precisamos primeiro achar v → B f !

Passo 4

Decompor v B

Depois da colisão, o que aconteceu com a esfera B ? Saca só:

A esfera B fará esse movimento, onde α = 20 o . Então, podemos decompor e obter: v → B f = v B f x i ^ -   v B f y j ^

v → B f = v B f cos ⁡ α i ^ -   v B f sen ⁡ α j ^

Calma, ta acabando!! Já que conhecemos v B f = 8,00   m / s pelo enunciado, a gente termina rapidinho essa parte substituindo os números

v → B f = 8 cos ⁡ 20 o i ^ -   8 sen ⁡ 20 o j ^

v → B f = 7,52 i ^ -   2,72 j ^

Passo 5

Substituir por valores conhecidos

Nessa parte você se pergunta: tudo isso pra que? Vai ficar claro quando o resultado do Passo 3 e do Passo 4 se unirem, então dá uma olhada:

52 i ^ + 15 j ^ = 4 v → A f + 3 v → B f

v → B f = 7,52 i ^ -   2,72 j ^

Viu só? Agora, unindo os dois resultados acima a gente consegue achar o que falta, que é v → A f . Partiu calcular então:

52 i ^ + 15 j ^ = 4 v → A f + 3   7,52 i ^ -   2,72 j ^

4 v → A f = 29,44 i ^ + 23,16 j ^

v → A f = 7,35 i ^ + 5,80 j ^   m / s

Passo 6

(c) Conservação da energia cinética

Seja a colisão elástica ou inelástica, vamos ter de qualquer modo a conservação do momento linear, mas nem sempre a conservação da energia cinética. Temos, no entanto, um problema ao calcular as energias cinéticas: o módulo das velocidades! O único que temos é v → B f ! O que fazer então?

E c i = m A v A i 2 2 +   m B v B i 2 2

E c f = m A v A f 2 2 +   m B v B f 2 2

Essa é a hora mágica que vamos usar pela primeira e única vez as expressões r → A ( t ) e r → B ( t ) do enunciado.Dá uma olhada nessa relação:

v → A i = d r → A ( t ) d t

v → B i = d r → B ( t ) d t

Pois é! Podemos derivar a posição em função do tempo para achar a velocidade das duas esferas! Então calma, que agora que identificamos isso, fica mais tranquilo. Vamos derivar então:

v → A i = d r → A ( t ) d t = 4 i ^ - 3 j ^

v → B i = d r → B ( t ) d t = 12 i ^ + 9 j ^

E então, calculamos o módulo de cada uma das velocidades:

v → A i = 4 2 + - 3 2 = 5   m / s

v → B i = 12 2 + 9 2 = 15   m / s

A única velocidade na qual a gente ainda não tem o módulo é v → A f , mas não é algo que não possamos calcular, não é mesmo?

v → A f = 7,35 i ^ + 5,80 j ^  

v → A f = 7,35 2 + 5,80 2 = 9,36   m / s    

Agora que sabemos o módulo de todas as velocidades, basta substituir:

E c i = m A v A i 2 2 +   m B v B i 2 2 = 4.5 2 2 + 3.15 2 2 = 387,5   J  

E c f = m A v A f 2 2 +   m B v B f 2 2 = 4.9,36 2 2 + 3.8 2 2 = 271,22   J

Opa, encontramos E c f < E c i . Ou seja, a energia cinética não se conserva e a colisão então é inelástica

Resposta

a)   v → f c m = 7,43   i ^ + 2,14   j ^   m / s

b) v → A f = 7,35 i ^ + 5,80 j ^   m / s

c) Colisão Inelástica

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