Exercícios Resolvidos de Conservação da Velocidade e Posição do Centro de Massa

Um sistema é constituído por duas partículas de massas m 1 = 2 m e m 2 = m , presas às extremidades de uma mola de constante elástica k . O sistema está inicialmente em repouso em uma mesa horizontal sem atrito e a mola encontra-se na sua posição natural, como mostrado na figura. No instante t = 0 começam a atuar duas forças constantes de mesmo módulo F como indicado na figura. Utilizando os unitários relativos ao sistema de eixos indicado na figura determine:

a) O vetor posição do centro de massa do sistema quando este se encontra em repouso.

b) O vetor posição do centro de massa para um instante t posterior a t   =   0 .

Passo 1

A posição do centro de massa de um sistema é como se fosse a média ponderada da posição de cada corpo.

Se nós estivermos somente em uma direção, ela fica assim:

x C M = x 1 m 1 + x 2 m 2 + . . . m 1 + m 2 + . . .

Mas quando estamos em duas dimensões, tanto a coordenada x quanto a coordenada y :

y C M = y 1 m 1 + y 2 m 2 + . . . m 1 + m 2 + . . .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular cada uma dessas coordenadas do centro de massa.

As coordenadas x , y da posição de cada partícula são:

x 1 , y 1 = b , 0

x 2 , y 2 = 0 , b

Começando em x :

x C M = x 1 m 1 + x 2 m 2 m 1 + m 2

x C M = b 2 m + 0 m 2 m + m

x C M = 2 b 3

Já a coordenada y :

y C M = y 1 m 1 + y 2 m 2 m 1 + m 2

y C M = 0 2 m + b m 2 m + m

y C M = b 3

Temos então que a posição do centro de massa r C M é:

r C M = 2 b 3 , b 3

Ou então, vetorialmente usando os unitários i ^ e j ^ :

r → C M = 2 b 3 i ^ + b 3 j ^

Passo 3

Agora que já sabemos a posição do centro de massa nesse instante inicial, podemos analisar o movimento do próprio centro de massa a partir das forças atuando no sistema.

Como assim?

Lembra da segunda lei de Newton?

F R = m a

Nós podemos aplicar essa lei para o centro de massa e descobrir a aceleração do centro de massa:

F R = M a C M

Sendo M a massa total do sistema.

Passo 4

Vamos trabalhar vetorialmente, para não extender muito as contas.

Como os corpos estão num plano horizontal, as forças peso e normal se anulam.

Assim, o vetor força resultante será apenas a soma daquelas duas forças:

F → R = F → 1 + F → 2

A força F → 1 está na direção positiva de y enquanto F → 2 está na direção positiva de x :

F → R = F j ^ + F i ^

F → R = F i ^ + F j ^

Passo 5

Aplicando na segunda lei de Newton, temos:

F → R = M a → C M

F i ^ + F j ^ = 2 m + m a → C M

a → C M = F i ^ + F j ^ 3 m

Passo 6

Como temos uma aceleração constante, vamos usar a equação da posição para um movimento uniformemente acelerado:

S = S 0 + v 0 t + a t 2 2

Escrevendo de forma vetorial, temos:

r → = r → 0 + v → 0 t + a → t 2 2

Já sabemos a posição inicial:

r → C M 0 = 2 b 3 i ^ + b 3 j ^

Além disso, o sistema parte do repouso:

v → 0 = 0

Então, para o centro de massa temos:

r → C M = 2 b 3 i ^ + b 3 j ^ + F i ^ + F j ^ 3 m t 2 2

Juntando as componentes i ^ e j ^ :

r → C M = 2 b 3 + F t 2 6 m i ^ + b 3 + F t 2 6 m j ^

Resposta

(a) r C M = 2 b 3 , b 3

ou

r → C M = 2 b 3 i ^ + b 3 j ^

(b) r → C M = 2 b 3 + F t 2 6 m i ^ + b 3 + F t 2 6 m j ^

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