Exercícios Resolvidos de Conservação da Velocidade e Posição do Centro de Massa

PUC-RIO – 2ª Prova – 2014.2

Um homem de massa m = 80   k g está na cesta de um balão de ar quente de massa M = 320   k g , que se encontra a uma altura H = 15   m em relação ao solo. Devido a uma força de sustentação do ar conhecida como empuxo, o balão está em repouso em relação ao solo. O homem decide descer do balão usando uma escada de corda de 15   m suspensa que toca levemente o solo, conforme a figura.

a Se o homem começar a descer pela escada com velocidade V H B = 1,0   m / s (em relação ao balão), qual o sentido e qual a velocidade V B S com que o balão irá se mover em relação ao solo?

b Após descer os 15   m até o final da escada, o balão terá subido e o homem se encontrará a uma distância h entre a base da escada e o solo. Calcule o valor da distância h .

Passo 1

a   A velocidade do homem em relação ao solo V H S se relaciona com a velocidade do balão em relação ao solo por:

V H S = V B S + V H B

Uma vez que o sistema possui resultante das forças externas nula ( P e s o + E m p u x o = 0 ) e as forças internas relacionadas entre o homem e balão são produzidas em pares ação e reação, se anulando também, ocorrerá conservação do momento linear total do sistema. Desta forma, a velocidade do centro de massa do conjunto é constante e vale:

V C M a n t e s = V C M a p ó s

m   .   0 + M   .   0 m + M = m   .   V H S + M   .   V B S m + M

Substituindo o valor de V H S

0 = m . V B S + V H B + M . V B S

V B S = - m . V H B m + M

V B S = - 80   .   1 400

V B S = - 0,2   m / s

Devido ao sinal negativo, conclui-se que o balão tem sentido de movimento contrário ao do homem, ou seja, o balão sobe com velocidade de 0,2   m / s em relação ao solo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b   Visto que a velocidade do centro de massa do sistema é nulo, sua coordenada da posição do centro de massa y C M será constante. Após o homem ter descido a escada, o balão terá se deslocado uma altura h para cima. Assim:

y C M a n t e s = y C M a p ó s

Considerando o chão como y = 0

m . H + M . H m + M = m . h + M . H + h m + M

m . H = m . h + M . h

h = m . H m + M

h = 80   .   15 400 = 3   m

Assim, o balão estará a 15 + 3 = 18   m do solo enquanto o homem estará a 3   m do solo.

Resposta

a O balão sobe com velocidade de 0,2   m / s em relação ao solo

b h = 3   m

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