Exercícios Resolvidos de Conservação da Velocidade e Posição do Centro de Massa

Sistema de Partículas

Duas pessoas, de mesma massa M , estão de pé e presas às extremidades opostas de uma prancha, de comprimento L e massa desprezível, que inicialmente se encontra em repouso sobre uma pista de gelo, como mostrado na figura. A pessoa da direita joga, com certa velocidade v horizontal, uma bola de massa m em direção à outra pessoa que consegue pegá-la. Despreze os efeitos da resistência do ar e do atrito entre a prancha e a pista de gelo. Para um observador parado na borda da pista:

(a) Encontre a equação que descreve a posição do centro de massa ( C M ) do conjunto prancha + pessoas + bola enquanto a bola vai da direita para a esquerda. Justifique sua resposta com argumentos físicos.

(b) Encontre as equações da velocidade e da posição do centro da prancha (que inicialmente vale L / 2 ) enquanto a bola vai da direita para a esquerda, em função das massas e da velocidade v da bola.

(c) Determine a posição da pessoa da direita, no momento em que a bola é agarrada pela pessoa da esquerda, usando o referencial da figura.

(d) O que acontece com o conjunto prancha + pessoas + bola após que a pessoa da esquerda agarrou a bola? Justifique sua resposta com argumentos físicos.

Passo 1

(a)

Lembrando que:

d P x d t = F e x t x

Como não tem forças externas ao sistema, apenas forças internas, teremos que:

d P x d t = 0

Ou seja, o momento linear não varia, é constante. Consequentemente, o centro de massa também não poderá mudar de posição, pois:

P = M . V C M

Entretanto o sistema está em repouso no momento inicial, então V C M = 0 , e continuará sendo zero, pois o momento linear não varia.

Logo a posição do centro de massa continuará sempre a mesma, e pode ser calculada pela fórmula:

R C M = m 1 r 1 → + m 2 r 2 → m 1 + m 2

Substituindo os dados do problema:

R C M = M . 0 + M . L + m . L M + M + m

R C M = m + M L 2 M + m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

Como o C M não pode se deslocar, enquanto a bola se desloca da direita para a esquerda, a prancha deve se deslocar da esquerda para a direita. Durante o movimento da bola, teremos a velocidade – v da bola e a velocidade V da prancha que por conta do contato, será também, a velocidade V das pessoas.

P = c o n s t a n t e = 0

2 M V - m v = 0

V = m v 2 M

Pronto, já temos a velocidade da prancha, como não possui forças externas atuando, essa velocidade é constante e deve obedecer a fórmula:

S = S 0 + v 0 t

Substituindo os dados do problema:

X = L 2 + m v 2 M . t

Passo 3

(c)

No final do movimento, as duas pessoas se deslocaram para a direita de uma mesma distância x em relação às suas posições iniciais.

X C M = x m + M + L + x M 2 M + m

E como a posição do centro de massa é fixa, podemos dizer que:

X C M = X C M 0

x m + M + L + x M 2 M + m = m + M L 2 M + m

x M + x m + M L + x M = m L + M L

x 2 M + m = m L

x = m L 2 M + m

Logo, como a pessoa da direita estará na posição:

r 2 = x + L

r 2 = m L 2 M + m + L

Passo 4

(d)

Como a posição do C M é constante, o conjunto prancha + pessoas + bola depois que a pessoa da esquerda agarrou a bola permanece em repouso.

Resposta

(a)

R C M = m + M L 2 M + m

(b)

X = L 2 + m v 2 M . t

(c)

r 2 = m L 2 M + m + L

(d) Permanece em repouso.

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