Exercícios Resolvidos de Conservação da Velocidade e Posição do Centro de Massa

Sistema de Partículas

Calculadoras científicas simples são autorizadas.

Eduardo e Mônica resolvem fazer um romântico passeio de canoa. Eduardo, com 80   k g , senta-se em um extremo da canoa, enquanto Mônica, com 50   k g , senta-se no outro extremo. A ponta em que está sentado Eduardo dista de 2,0   m da margem. O barco tem um comprimento total de 4,0   m e massa de 120   k g . Quebrando o romantismo, Eduardo se dá conta de que esqueceu os remos na margem e tem a seguinte ideia: se eles trocam de lugar, o barco deverá se mover em direção à margem e com isto Mônica pode tentar alcançar os remos. Para não perderem o equilíbrio, primeiro caminhou Mônica, depois Eduardo.

a) Durante o deslocamento de Mônica, a canoa tem uma velocidade escalar de 0,3   m / s em relação à água. Qual é a velocidade de Mônica, também em relação à água?

b) O braço de Mônica tem 60 cm. Ao final do deslocamento de ambos, ela consegue alcançar os remos? (despreze a variação do centro de massa de Mônica ao esticar um braço)

Justifique claramente o desenvolvimento em ambos itens!

Passo 1

a)

Temos um sistema de partículas composto pela canoa, por Eduardo e Mônica. Vou chamá-los de C ,   E e M , assim quando eu botar, por exemplo, m E , é a massa do Eduardo, beleza?

Repare que não há nenhuma força externa atuando (ele diz pra desprezar o atrito). Sabemos que nesse caso, a velocidade v C M do centro de massa é constante!

E antes da Mônica começar a mexer, estão todos parados: v C M ( a n t e s ) = 0 .

Então durante o deslocamento da Mônica, também vamos ter: v C M d e p o i s = 0

E a fórmula geral da velocidade do centro de massa é dada por:

v C M = m C ⋅ v C + m E ⋅ v E + m M ⋅ v M m C + m E + m M

Então vamos aplicar isso!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas vamos primeiro dar uma olhada nos dados do enunciado:

m C = 120   k g

m E = 80   k g

m M = 50   k g

E durante o deslocamento da Mônica, temos

v C = 0,3   m / s

O Eduardo está parado em relação à canoa, então

v E = v C = 0,3   m / s

Passo 3

Show! Vamos às contas:

v C M d e p o i s = v C M ( a n t e s )

⇒   m C ⋅ v C + m E ⋅ v E + m M ⋅ v M m C + m E + m M = 0

⇒   120 ⋅ 0,3 + 80 ⋅ 0,3 + 50 ⋅ v M 120 + 80 + 50 = 0

⇒ 36 + 24 + 50 v M 250 = 0

⇒ 36 + 24 + 50 v m = 0

⇒   50 v M = - 60

⇒ v M = - 6 5 = - 1,2 m / s

O eixo x aponta pra direita e a Mônica está se movendo pra esquerda, então a velocidade dela tem que dar negativo mesmo!

Passo 4

b)

A velocidade do centro de massa é 0 então a posição do CM não muda!

x C M a n t e s = x C M ( d e p o i s )

E a fórmula do x C M é:

x C M = m C ⋅ x C + m E ⋅ x E + m M ⋅ x M m C + m E + m M

Passo 5

Vamos começar calculando a posição do CM antes de qualquer deslocamento, beleza?

O CM da canoa é no meio da canoa (assumimos que ela é homogênea), então x C = 4 .

Também temos x E = 2 e x M = 6 . Portanto,

x C M a n t e s = m C ⋅ x C + m E ⋅ x E + m M ⋅ x M m C + m E + m M

⇒   x C M a n t e s = 120 ⋅ 4 + 80 ⋅ 2 + 50 ⋅ 6 120 + 80 + 50

⇒   x C M a n t e s = 4 80 + 160 + 300 250

⇒   x C M a n t e s = 9 40 250 = 94 25 = 3,76   m

Passo 6

Excelente! Agora vamos achar a posição do CM do sistema depois de Eduardo e Mônica terem terminado de trocar de lugar. Mas a gente não sabe a que distância d da borda a canoa ficou.

Então vamos expressar x C ,   x E e x M em função desse d .

  • A canoa tem 4   m de comprimento, e o seu CM fica no meio dela, portanto a uma distância x C = d + 2 da borda.
  • O Eduardo foi parar do outro lado da canoa, então x E = d + 4 .
  • A Mônica está na ponta da canoa mais próxima da borda, logo x M = d .

Passo 7

Agora só resta calcular! Vamos ter

x C M d e p o i s = m C ⋅ x C + m E ⋅ x E + m M ⋅ x M m C + m E + m M

⇒   x C M d e p o i s = 120 ⋅ ( d + 2 ) + 80 ⋅ ( d + 4 ) + 50 d 120 + 80 + 50

⇒   x C M d e p o i s = 120 d + 240 + 80 d + 320 + 50 d 250

⇒   x C M d e p o i s = 250 d + 560 250 = d + 560 250 = d + 2,24   m

Passo 8

Show, estamos quase acabando! Vimos que x C M a n t e s = x C M ( d e p o i s ) . Logo,

3,76 = d + 2,24

⇒ d = 3,76 - 2,24 = 1,52   m

E o braço da Mônica só tem 60   c m então ela não vai conseguir alcançar os remos! Pois é Mônica, não adianta fazer medicina e falar alemão se o seu braço é curto! :)

Resposta

a) - 1,2 m / s

b) Não.

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