Exercícios Resolvidos de Conservação da Velocidade e Posição do Centro de Massa

USP – Física 1 2020.1 – P1– Questão 5

Um sistema é composto por duas partículas que se movimentam em um plano horizontal x y . Em um dado instante ( t   =   0   s ) , observa-se que as duas partículas, de massas m 1 = 3 k g e m 2 = 2 k g , partem da origem do sistema de coordenadas, com velocidades v → 1 = 2 i ^ ( m / s ) e v → 2 = 3 j ^ ( m / s ) , respectivamente. Sabendo-se que elas estão sujeitas somente a forças internas, o módulo do vetor posição do centro de massa (em metros) quando t   = 2   s é:

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

A ideia aqui é observar que as partículas estão sujeitas apenas a forças internas. Sendo assim tanto o momento linear é conservado como a velocidade do centro de massa são constantes.

Vamos começar expressando as velocidades do centro de massa para o caso geral de duas partículas:

v → 1 = v 1 x i ^ + v 1 y j ^

v → 2 = v 2 x i ^ + v 2 y j ^

E o vetor velocidade do centro de massa é:

V → C M = m 1 v → 1 + m 2 v → 2 m 1 + m 2

Substituindo as velocidades temos:

V → C M = m 1 v 1 x i ^ + v 1 y j ^ i ^ + m 2 ( v 2 x i ^ + v 2 y j ^ ) m 1 + m 2

E agora reorganizando as componentes:

V → C M = m 1 v 1 x + m 2 v 2 x i ^ + m 1 v 1 y + m 2 v 2 y j ^ m 1 + m 2

V → C M = m 1 v 1 x + m 2 v 2 x m 1 + m 2 i ^ + m 1 v 1 y + m 2 v 2 y m 1 + m 2 j ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos encontrar o módulo desse vetor. Bom, o módulo de um vetor qualquer a → é:

a → = a x i ^ + a y j ^

a → = a x 2 + a y 2

Então agora vamos aplicar isso ao nosso vetor velocidade:

V → C M = m 1 v 1 x + m 2 v 2 x m 1 + m 2 2 + m 1 v 1 y + m 2 v 2 y m 1 + m 2 2

V C M = V → C M = m 1 v 1 x + m 2 v 2 x 2 + m 1 v 1 y + m 2 v 2 y 2 m 1 + m 2 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

A posição do centro de massa, como a velocidade é constante, é dada pelo MRU:

R C M = V C M t

Os dados são:

m 1 = 3 k g ; v 1 x = 2 m / s ; v 1 y = 0

m 2 = 2 k g ; v 2 x = 0 ; v 2 y = 3 m / s

E queremos saber a posição no instante t = 2 s , agora é só substituir tudo:

R C M = t m 1 v 1 x + m 2 v 2 x 2 + m 1 v 1 y + m 2 v 2 y 2 m 1 + m 2 2

R C M = 2 2.3 + 2.0 2 + 3.0 + 3.3 2 2 + 3 2

R C M = 2 36 + 81 25 = 3,39 m

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

R C M = 3,39 m

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