Em um ancoradouro, as marés fazem com que a superfície do oceano suba e desça uma distância d (do nível mais alto ao nível mais baixo) em um movimento harmônico simples com um período de 12 h. Nas questões abaixo desconsidere efeitos gravitacionais.

( a ) Quanto tempo é necessário para que a água desça uma distância de 0,25 d a partir do nível mais alto?

( b ) A que distância do nível mais alto a superfície da água se movimenta com velocidade máxima? Justifique.

Passo 1

a   A equação da posição da maré é dada por:

y t = A . cos ⁡ ω t

Onde A = d / 2   e ω = 2 π T = π 6   r a d / h .

Sendo assim:

y t = d 2 . cos ⁡ π 6 t

Beleza, agora presta atenção nisso aqui. Nós estamos supondo um movimento que começa em y 0 = d / 2 , porque cos ⁡ 0   r a d = 1 . Ou seja, nosso movimento COMEÇA NO TOPO. Então se nós queremos o tempo pra água descer d / 4 , vamos fazer:

y t = d 2 . cos ⁡ π 6 t = d 4

E pegar o primeiro valor de t encontrado, sacou? Então:

d 4 = d 2 . cos ⁡ π 6 t

cos ⁡ π 6 . t = 1 2

Teremos cos a igual a 1 / 2 ,   quando a = 60 ° = 2 π 6   o u   300 ° = 5 π 3  

Assim, pegando o primeiro valor:

π 6 . t = 2 π 6

t = 2   h

Passo 2

b   A velocidade máxima é alcançada no ponto de equilíbrio y = 0 . Pela conservação de energia, temos que E m e c = K + U

Teremos a energia potencial máxima quando v = 0 . Isso ocorre em d / 2 . Assim,

U m a x = 1 2 k d 2 2

Sabendo que a energia se conserva, temos que

E m e c = U m a x   = K m a x

A energia máxima é alcançada quando y = 0 , pois assim temos U = 0 .

Se temos energia cinética máxima, temos velocidade máxima, portando a diferença da altura máxima para o ponto em que a velocidade é máxima é de d / 2

Resposta

a   2   h

b   d / 2

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