A figura mostra um bloco de massa m que oscila sobre uma superfície horizontal, sem atrito, sob a ação de uma força elástica produzida por uma mola, da forma:

F e l   x =   - a x + b ,

Onde x indica a posição horizontal do bloco em um dado sistema de coordenadas, a e b são constantes e a > 0 e b > 0 .

a) Qual a posição de equilíbrio do bloco, x = x 0 , tal que a mola encontra-se relaxada?

b) Encontre a equação diferencial de movimento para a posição x do bloco.

c) Encontre a solução geral da equação encontrada no item anterior, sem impor condições iniciais.

d) Encontre a função horária x t se em t = 0 o bloco está em x = 0 e parte do repouso.

e) Esboce x ( t ) para as 2 primeiras oscilações (decorridos dois períodos) do bloco, respeitando as condições do item ( d ) . O bloco oscila em torno de que posição?

f) Determine a energia potencial elástica U ( x ) para este sistema. Esboce um gráfico para U ( x ) , indicando nele a posição de equilíbrio.

Passo 1

a) Para encontrar a posição em que a mola encontra-se relaxada, aasta achar aquela que a força exercida sobre o bloco é nula:

F e l x 0 =   - a x 0 + b = 0 .

Porque quando a mola tá relaxada não exerce força sobre o objeto, por isso a força é nula.

Logo, x 0 = b a .

Passo 2

b) A força resultante no bloco é a força elástica. Então, aplicando a segunda lei de Newton, em que a força resultante é igual a massa vezes aceleração:

F e l = m a = m x ' '

m x "   =   - a x   +   b

x "   +   a m x = b m

Passo 3

c) A solução homogênea da equação anterior satisfaz

x h "   +   a m x h = 0 ,

Cuja solução é da forma:

x h t = A c o s ( a m t + ϕ ) .

A solução particular pode ser escolhida constante, x p = c . Fazendo x p = c e substituindo na equação encontramos:

x p t = b a = x 0 .

A solução geral é, portanto,

x t = x p t + x h t = x 0 + A c o s ( a m t + ϕ ) .

Passo 4

d) Do enunciado x 0 = 0 e x ' 0 = 0 . Substituindo na solução geral da equação de movimento, com x ' t =   - A   a m s e n ( a m t   + ϕ ) .

x 0 = A c o s ϕ + x 0 = 0 ,

x ' 0 =   - A a m s e n ϕ = 0 ,

Cuja solução é dada por:

ϕ = 0 , A =   - x 0 .

x t = x 0 - x 0 c o s ⁡ ( a m t ) .

Passo 5

e) O bloco oscila em torno de x = b a = x 0 , sua posição de equilíbrio. O gráfico é de duas oscilações completas, começando em seu mínimo, em x = 0 e t = 0 e oscilando simetricamente em torno de x 0 .

Passo 6

f) A energia potencial é dada por

U x =   - ∫ d x F e l x =   - ∫ d x ( - a x + b ) ,

U x = a 2 x 2 - b x + C ,

onde C é uma constante arbitrária.

O gráfico é uma parábola com concavidade para cima com seu mínimo em x 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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