Um bloco de 1,0 kg está sobre uma superfície horizontal sem atrito e preso a uma mola ideal horizontal. Aplica-se uma força horizontal F = 20,0 N ao bloco para mantê-lo em repouso a 0,20 m de sua posição de equilíbrio (x = 0). Cessada a aplicação da força F o bloco executa um movimento harmônico simples. Determine:

a) O período e a frequência do movimento,

b) A aceleração máxima do bloco,

c) A velocidade do bloco ao passar pela primeira vez pela posição x = - 0,10 m.

d) A energia cinética do bloco em função de sua posição x.

Passo 1

a) Antes de qualquer coisa vamos achar a constante k da mola, porque isso facilita beeem a vida.

Ele disse que o bloco tá sendo segurado por uma força de 20 N, a uma distância de 0,2 m da posição de equilíbrio. Traduzindo: a força elástica é igual a 20 N e a mola tá comprimida 0,2 m.

Ok? Então vamos igualar a força elástica a 20 N:

F E l = 20   N

k x = 20

0,2 k = 20

k = 100   N / m

Maravilha! E ele pede a frequência e o período. Agora que já temos a constante da mola, podemos calcular o período assim:

T = 2 π m k

T = 2 π 1 100

T ≅ 0,63   s

E a frequência, que é o inverno do período:

f = 1 / T

f = 1 / 0,63

f ≅ 1,6   H z

Vamos aproveitar pra calcular logo a frequência angular:

ω 0 = k m

ω 0 = 100 1

ω 0 = 10   r a d / s

Passo 2

b) Aqui ele tá pedindo a aceleração máxima. Mas a gente sabe que a aceleração é a segunda derivada da posição, né? Então:

x t = x m cos ⁡ ( ω 0 t + φ )

x ˙ t = v ( t ) = - x m ω 0 s in ⁡ ( ω 0 t + φ )

x ¨ t = a t = - x m ω 0 2 cos ⁡ ( ω 0 t + φ )

E a aceleração máxima vai ser a amplitude da função aceleração. Ou seja:

a M á x = x m ω 0 2

a M á x = 0,2 × 10 2

E a amplitude é sempre o ponto de onde o bloco é abandonado, lembra? No caso x m = 0,2   m .

a M á x = 20   m / s 2

Passo 3

c) Bom, primeiro vamos achar em que momento (tempo) ele passa pela posição x = - 0,1   m .

x t = x m cos ⁡ ( ω 0 t + φ ) = - 0,1

0,2 cos ⁡ ( 10 t + φ ) = - 0,1

cos ⁡ ( 10 t + φ ) = - 1 2

10 t + φ = 2 π 3

Existem outros ângulos que têm cosseno -1/2. Mas como ele quer a primeira vez que o bloco passa pela posição -0,1 m vamos pegar o menor valor.

A velocidade é:

x ˙ t = v ( t ) = - x m ω 0 s in ⁡ ( ω 0 t + φ )

x ˙ t = v ( t ) = - 0,2 × 10 sin ⁡ ( 10 t + φ )

x ˙ t = v ( t ) = - 2 s in ⁡ ( 10 t + φ )

E quando 10 t + φ = 2 π 3 :

x ˙ t = v ( t ) = - 2 sin ⁡ 2 π 3

x ˙ t = v t = - 1,7   m / s

Passo 4

d) Você lembra que a energia total do sistema é a energia cinética mais a energia potencial? Então, é isso que a gente vai usar aqui. Dá uma olhada:

E M = E C + E P

Vamos trocar a energia mecânica e a energia potencial pelas fórmulas delas:

k x m 2 2 = E C + k x ( t ) 2 2

E C = k x m 2 2 - k x ( t ) 2 2

E trocando os valores:

E C = 100 × 0,2 2 2 - 100 x ( t ) 2 2

E C = 2 - 50 x ( t ) 2

Resposta

a) T ≅ 0,63   s e f ≅ 1,6   H z

b) a M á x = 20   m / s 2

c) v t = - 1,7   m / s

d) E C = 2 - 50 x ( t ) 2

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