Um oscilador harmônico possui frequência ω e amplitude A .

  1. Quais são os valores dos módulos da posição e da velocidade quando a energia potencial elástica for igual a energia cinética? (Suponha que U = 0 no momento de equilíbrio)
  2. Quantas vezes isso ocorre em cada ciclo? Qual é o intervalo de tempo entre duas ocorrências?
  3. No momento em que o deslocamento é A 2 qual a fração da energia total do sistema referente a energia cinética e a qual corresponde a energia potencial?

Passo 1

Bom, galera, aqui vamos usar as equações de energia do MHS. Ou seja:

m v 2 2 + k x 2 2 = k A 2 2 = E C + E P

Além disso, vamos usar também a equação da posição em função do tempo:

x t = A c o s ω t + φ

E da velocidade ( derivada da função acima):

v t = - ω A s e n ω t + φ

Simbora!

Passo 2

a)

Aqui a gente encontra uma situação onde a energia cinética é igual a energia potencial. Isso é:

E C = E P = k x 2 2

E C + E P = 2 E P = k A 2 2

2 . k x 2 2 = k A 2 2

x 2 = A 2 2

x = ± A 2

Por outro lado, como a energia potencial é igual a cinética:

2 E C = k A 2 2

2 . m v 2 2 = k A 2 2

m v 2 = k A 2 2

v = ± A . k m . 1 2

Lembrando que ω = k m :

v = ± A . ω 2

Passo 3

b)

Lembrando que, em um ciclo, a partícula se move de A até – A e depois volta de – A para A . Então, usando o resultado do item anterior:

x = ∓ A 2

A energia cinética se iguala a energia potencial quatro vezes vezes no ciclo.

Passo 4

Beleza, agora nós queremos saber a diferença de tempo entre as duas ocorrências x = ∓ A 2 . Como faremos isso? Usando a função que define a posição em função do tempo:

x t = A c o s ω t + φ

Vamos supor que em t = 0 o corpo esteja em + A . Então:

x 0 = A c o s 0 + φ = A

cos ⁡ φ = 1   →     φ = 0

Beleza, então a função é:

x t = A c o s ω t

Agora vamos descobrir o tempo t 1 e t 2 em que ocorre primeiro x t 1 = A 2 e x t 2 = - A 2 . Assim:

A c o s ω t 1 = A . 1 2 → cos ⁡ ω t 1 = 1 2

ω t 1 = arccos ⁡ 1 2 = π 4

t 1 = π 4 ω

Ali a gente só percebeu que o ângulo que gera um cosseno igual a 1 2 = 2 2 é o π 4 .

Fazendo a mesma coisa com a outra posição:

A c o s ω t 2 = - A . 1 2 → cos ⁡ ω t 2 = - 1 2

ω t 2 = arccos ⁡ - 1 2 = 3 π 4

t 2 = 3 π 4 ω

Então, o tempo que estamos procurando será:

t a = t 2 - t 1 = 3 π 4 ω - π 4 ω = π 2 ω

Passo 5

c)

Bom, pra calcular a energia potencial é simples:

E p = k A 2 2 2 = k A 2 8

E pra calcular a fração:

f E P = k A 2 8 k A 2 2 = 1 4

Beleza! Agora, pra calcular a fração de energia cinética, basta subtrair esse valor de 1:

f E c = 1 - 1 4 = 3 4

Resposta

a)

x = A . 1 2

v = A . ω 2

b)

t a = π 2 ω

c)

f E P = 1 4

f E c = 3 4

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