Um objeto de 5,00   k g que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com k = 1000   N / m . Objeto é deslocado horizontalmente 50,0   c m a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 10,0   m / s na direção da posição de equilíbrio. Determine ( a ) a frequência do movimento, ( b ) a energia potencial inicial do sistema massa-mola, ( c ) a energia cinética inicial e ( d ) a amplitude do movimento.

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos aqui uma partícula com massa

m =   5,00   k g

em uma superfície horizontal. Esta partícula está ligada uma mola com constante elástica

k =   1000   N   m - 1

Quando movemos a partícula 50   c m = 50 × 1 0 - 2   m fora do equilíbrio e soltamos ela começa a se mover com uma velocidade inicial de 10   m   s - 1 . Com isso devemos determinar

( a ) a frequência do movimento, ( b ) a energia potencial inicial do sistema massa-mola, ( c ) a energia cinética inicial e ( d ) a amplitude do movimento.

Esta descrição é a de um movimento harmônico simples (MHS) sendo assim, vamos usar as expressões relacionadas e as definições pertinentes para calcular o que se é pedido! Vamos lá!

Passo 2

Para obter a frequência de oscilação precisamos encontrar a frequência angular, uma vez que ambas estão relacionadas pela relação

ω = 2 π f

no entanto, obter a frequência angular para o MHS é bastante simples já que

ω 2 = k m = 1000   N   m - 1 5,00   k g

ou seja, temos que

ω = 14,1   r a d   s - 1

de forma que a frequência é dada por

f = 2,25   H z

Mavaravilha! Você lembra agora como calculamos a energia potencial de um sistema massa-mola? Saca só!

Passo 3

A energia potencial de um sistema massa mola é dada por

E p = 1 2 k x 2

em que x é o deslocamento em relação ao equilíbrio, já que em nosso caso este deslocamento é dado por

x = 50   c m   = 50 × 1 0 - 2 m

obtemos simplesmente

E p = 1 2 ( 1000   N   m - 1 ) ( 50 × 1 0 - 2   m ) 2 =   125   J

A energia cinética inicial é um pouco mais simples, temos que

K   =   1 2 m v 2

como temos que inicialmente a partícula se move com velocidade v = 10   m   s - 1 , temos que

K = 1 2 ( 5,00   k g ) ( 10   m   s - 1 ) 2 = 250   J

Vamos trabalhar agora com a amplitude do movimento!

Passo 4

Se o sistema tivesse partido do repouso a amplitude seria apenas o deslocamento inicial, mas como temos uma velocidade inicial que foi dada ao sistema, vamos ter que usar a conservação de energia para garantir que quando a partícula está em sua posição mais afastada (quando toda energia é potencial), temos que a energia será dada por

E = 1 2 k A 2

em que A é a amplitude do movimento! Mas quem é E ? Por conservação de energia, temos que

E = E p + K

que calculamos anteriormente, de forma que

E = 125   J   +   250   J   =   375   J

Sendo assim, a amplitude é obtida como

375   J = 1 2 ( 1000   N   m - 1 )   A 2

ou simplesmente

A = 0,87   m   =   87,0   c m

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

a )   f = 2,25   H z , b )   E p = 125   J , c ) K = 250   J e d ) A = 87,0   c m

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