A figura abaixo mostra o gráfico da energia cinética K de um sistema massa-mola em função da posição x da massa. ( a ) Determine o valor da constante elástica k da mola em N / m . ( b ) Sabendo que o período de oscilação é T =   ( π / 2 )   s, encontre o valor da massa m em k g . ( c ) No instante t   =   0 , a massa encontra-se na posição x 0   = 2,0   m m com velocidade v 0 = 0 . Esboce o gráfico de sua posição x ( t ) para 0 ≤ t ≤ T .

Passo 1

a   Para descobrirmos a constante elástica da mola, iremos usar a conservação de energia já que tudo que temos é um gráfico de energia cinética.

Nesse gráfico vemos a energia cinética, sair do zero, atingir um valor máximo em x = 0 e depois cair até a energia ser zero novamente.

Como não há atuação de nenhuma força dissipativa, a energia mecânica se conserva, assim:

E m e c x = - 2 = E m e c x = 0 = E m e c x = 2

A energia mecânica é dada pela soma da energia potencial com a energia cinética

E m e x x = U x + K x

Sendo assim, podemos pelo gráfico calcular qual a energia mecânica quando x = 0

E m e c x = 0 = U x = 0 + K x = 0

A energia potencial num sistema massa mola simples assim, é dada por

U = 1 2 k x 2

Como x = 0 , então U x = 0 = 0 . Sendo assim:

E m e c x = 0 = 0 + K x = 0

A energia cinética o gráfico nos fornece, então

E m e c x = 0 = 0 + 8   J = 8   J

Agora voltando a conservação de energia mecânica, podemos escolher um momento qualquer do gráfico e descobrir qual é a energia potencia naquele momento. Para facilitar nossa vida, escolheremos x = 2 , pois lá K = 0 . Assim:

E m e c x = 2 = U x = 2 = 1 2 k 2 2

E m e c x = 2 = 2 k

Lembrando que

E m e c x = 0 = E m e c x = 2

Assim,

8   J = 2 . K   10 - 6 m 2

K = 8 2 J   10 - 6 m 2

K = 4.10 6   N / m

Passo 2

b Precisamos lembrar de duas equações para resolvermos esse item:

ω = 2 π f       e     ω 2 = k m

E ainda que o período é o inverso da frequência. Assim, podemos igualar as equações e:

ω 2 = 2 π f 2 = 2 π T 2 = k m

O período o problema deu, e k a gente terminou de descobrir, assim só restou a massa:

m = k T 2 4 π 2

Substituindo o período e k

m = 4.10 6 . π 2 2 2 . 1 4 π 2 = 2,5 x 10 5   k g

Passo 3

c   Para descrevermos o movimento da partícula em função do tempo a primeira coisa q temos q fazer é encontrar a equação do movimento.

Bem, sabemos que ela tem esse jeito:

x t = A . cos ⁡ ω t + ∅

A amplitude é fácil de encontrarmos, basta olharmos no gráfico da energia cinética e observamos quando a energia cinética é zero. Pois esse é o momento e máxima amplitude. Assim A = 2   m m

A frequência natural é dada por

ω = 2 π T

Assim, ω = 4   r a d / s

Agora só precisamos descobrir a fase. O enunciado falou que em t = 0 , a posição é x = 2 , assim,

2 = 2 . cos ⁡ ∅

cos ⁡ ∅ = 1

∅ = 0

Então chegamos na equação do movimento em função do tempo e assim podemos construir o gráfico.

x t = 2 . cos ⁡ 4 t

E o gráfico é assim:

Para construir o gráfico você precisa marcar 5 pontos.

O primeiro é quando t = 0 . E o último é t = T . Esses pontos terão a mesma altura, pois representa um período. Agora o 2º e 4º ponto serão quando x = 0

E o 3º ponto será quando x = - A . Ou seja, cos ⁡ ω t + ∅ = - 1 .

No nosso problema esses pontos são:

1 º t = 0,0   ; x = 2 - 5 º   t = T   ; x = 2

2 º t = T 4   ; x = 0     - 4 º   t = 3 T 4   ; x = 0

3 º   t = T 2 ; x = - 2

Marcando esses pontos, você traça a curva.

Resposta

a   K = 4.10 6   N / m

b   2,5 x 10 5   k g

c  

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