Um cilindro sólido de massa M = 4,0 kg está sobre uma superfície horizontal, preso pelo seu eixo a uma mola ideal horizontal de constante elástica k = 2,70 N/cm. O cilindro é afastado de 20,0 cm de sua posição de equilíbrio e abandonado a partir do repouso. Durante a oscilação o cilindro rola sem deslizar.

a) Mostre que o centro de massa do cilindro executa um movimento harmônico simples com período de T = 2 π 3 M 2 k .

b) Calcule as energias cinéticas de translação e de rotação do cilindro quando este passa pela posição de equilíbrio,

Passo 1

a) Vamos ver primeiro quais são as forças que atuam nesse cilindro. Dá uma olhada nessa figura:

E essa força F → E l aí é a força elástica, ok?

Então escrevendo a segunda lei de Newton pra esse cara:

F R = F A t - F E l

M x ¨ = F A t - k x

F A t = M x ¨ + k x

Guarde isso!

Passo 2

Beleza! Agora vamos escrever a segunda lei de Newton para rotações:

τ R = - F A t R

I θ ¨ = - F A t R

Em que R é o raio e o torque é negativo porque a força de atrito tá fazendo o cilindro girar no sentido horário. Além disso, só a força de atrito causa torque, porque a força elástica tá atuando no centro do cilindro.

Agora vamos trocar o que a gente tinha achado pra F A t :

I θ ¨ = - ( M x ¨ + k x ) R

I θ ¨ = - M R x ¨ - k R x

I θ ¨ + M R x ¨ + k R x = 0

Guarde isso também!

Passo 3

Agora, tem duas coisas que você precisa saber. Primeiro, que a aceleração angular se relaciona com a aceleração linear dessa forma aqui:

x ¨ = θ ¨ R

θ ¨ = x ¨ R

Segundo, que a inércia I do cilindro é:

I = M R 2 2

Então vamos trocar essas duas coisas na equação que achamos antes:

M R 2 2 x ¨ R + M R x ¨ + k R x = 0

M R x ¨ 2 + M R x ¨ + k R x = 0

3 M x ¨ 2 + k x = 0

x ¨ + 2 k 3 M x = 0

Comparando com a equação do MHS:

x ¨ + ω 0 2 x = 0

ω 0 2 = 2 k 3 M

ω 0 = 2 k 3 M

E o período vai ser:

T = 2 π ω 0

T = 2 π 3 M 2 k

Como queríamos demonstrar.

Passo 4

b) Aqui a gente precisa calcular as energias cinéticas de rotação e translação. Felizmente tem uma fórmula pra cada uma delas:

E R o t = I ω 2 2

E T r a n s = M v 2 2

Lembrando que a velocidade linear se relaciona com a velocidade angular:

ω = v R

Vamos trocar I por M R 2 2 e ω por v / R :

E R o t = M R 2 2 v / R 2 2

E R o t = M v 2 4

E T r a n s = M v 2 2

E você concorda comigo que a soma dessas duas energias vai ser a energia cinética total? Então:

E C = E R o t + E T r a n s

E C = M v 2 4 + M v 2 2

E C = 3 M v 2 4

Passo 5

Ok, muita calma nessa hora.

Quando o cilindro (ou qualquer objeto em MHS) passa pelo equilíbrio, a velocidade dele é máxima! Então a energia cinética também vai ser máxima. Isso quer dizer que a energia cinética vai ser igual à energia mecânica (total) do sistema, que é constante.

Então, no equilíbrio:

E M = E C

k x m 2 2 = 3 M v 2 4

Vamos trocar os valores que a gente conhece:

k x m 2 = 3 M v 2 2

270 × 0,2 2 = 3 × 4 v 2 2

v 2 = 21,6 12

v ≅ 1,34   m / s

Passo 6

Maraviiiilha! Agora é só trocar nas energias de rotação e translação:

E R o t = M v 2 4

E R o t = 4 × 1,34 2 4

E R o t = 1,8   J

E T r a n s = M v 2 2

E T r a n s = 4 × 1,34 2 2

E T r a n s = 3,6   J

Resposta

a) Demonstração.

b) E R o t = 1,8   J , E T r a n s = 3,6   J

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