Uma massa M de 1   k g é suspensa a uma mola de massa desprezível e constante elástica k   =   100   N / m . A extremidade superior da mola é fixa. No repouso (sem a massa M) a mola tem comprimento   l 0   =   50   c m .

  1. Qual é a posição da massa no equilíbrio?
  2. No instante t   =   0 , a massa é afastada de 20   c m da posição de equilíbrio e solta. A força de amortecimento é dada pela fórmula   F   =   -   b v , onde v é a velocidade da massa. Devido ao amortecimento, a amplitude cai da metade após 5 oscilações completas. No regime subcrítico, lembre-se de que a posição do objeto é dada por:

    x t = x m e - b t 2 M c o s ⁡ ( k M - b 2 4 M 2 t + φ ) ,

    onde x m   é a amplitude e φ   é a constante de fase.

  3. Sabendo que o período de oscilação pode ser aproximado pelo período de oscilação sem amortecimento, determinar o valor de b ?
  4. Qual é a energia perdida durante as 5 oscilações?

Passo 1

O sistema massa-mola estará em equilíbrio quando:

P - F e = 0

M g - k x 0 = 0

1 × 10 - 100 x 0 = 0

x 0 = 0 , 1   m

E como a mola relaxada tem comprimento de 50 cm, quando a massa estiver no equilíbrio a mola terá comprimento igual a 60 cm. Então, no equilíbrio:

x = 60   c m

Passo 2

Na letra b) temos que:

b ≪ K M   10 k g

o período de oscilação pode ser aproximado pelo período de oscilação sem amortecimento, logo:

T = 2 π 1 100 = 0,2 π

Agora vamos analisar o termo x m e - b t 2 M = 1 2 x m da equação abaixo, para obtermos o valor de b :

x t = x m e - b t 2 M cos ⁡ k M - b 2 4 M 2 t + φ ,

temos que após 5 ciclos de oscilação esse termo fica na forma:

L n ( e - b T 2 M ) = L n 1 2

- 5 b 0,2 π 2 × 1 = L n 1 2

b ≅ 0,44   k g / s

Passo 3

A energia perdida durante os 5 ciclos de oscilação, para pequenas perturbações, pode ser calculada de acordo com a expressão:

E p e r d i d a = E 0 - E ( 5 T )

Em que:

E t = 1 2 k x m 2 e - b t m ,

Com: k = 100 ; b = 0,44 ; x = 0,2 ; M = 1 .

Nós já temos todos os valores para poder aplicar na expressão. Vamos fazer primeiro para t = 5 T :

E 5 T = 1 2 × 100 × 0,2 2 × e - 0,44 × 5 × 0,2 π 1 = 0 , 5   J

E 0 = 1 2 × 100 × 0,2 2 = 2

Então:

E p e r d i d a = 1,5   J

Resposta

a) 60 cm

b) 0,44 Kg/s

c) 1,5 J

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