Um corpo de massa 400   g está oscilando sobre um plano horizontal sem atrito preso a uma mola de constante elástica 20,0   N / m . Sabe-se que no instante inicial ( t = 0   s ) o corpo passa na posição 0,20   m (em relação ao ponto de equilíbrio) com velocidade - 2,0   m / s .

  1. Calcule a energia mecânica ( E M ) do sistema.
  2. Encontre os valores da frequência angular e da amplitude ( A ) de oscilação do sistema.
  3. Descubra, através de equações adequadas, os valores da posição do corpo quando a energia cinética for o triplo da energia potencial.
  4. Sendo a posição da partícula dada por x t = A c o s ( ω t + ϕ ) , determine a constante de fase ( ϕ ). Escreva a função x ( t ) com os valores numéricos e respectivas unidades.
  5. Obtenha o valor máximo da aceleração do corpo e da força máxima que a mola exerce sobre o corpo.

Passo 1

A energia mecânica de um corpo oscilando pode ser calculada como:

E M = k x 2 2 + m v 2 2

Então, para x = 0,20 m e v = - 2,0 m / s :

E M = 20,0 0,20 2 2 + 400 x 10 - 3 2,0 2 2 = 1.2 J

Passo 2

Pra achar o valor da amplitude, basta usarmos:

E M = k A 2 2 = k x 2 2 + m v 2 2 = E P + E C

k A 2 2 = E M = 1,2

Aplicando o valor de k :

20 A 2 2 = 1,2     → A ≅ 0,35 m

E o valor da frequência angular de um MHS pode ser obtido pela fórmula:

ω = k m = 20 0,4 = 50 ≅ 7,07 m

Passo 3

c):

Vamos usar a conservação da energia mecânica. Como a energia potencial é do tipo:

E P = k x 2 2

Como a energia cinética é o triplo dessa:

E c = 3 k x 2 2

Então:

E M = k A 2 2 = k x 2 2 + m v 2 2 = 3 k x 2 2 + k x 2 2 = 1,2

3 k x 2 2 + k x 2 2 = 2 k x 2 = 1,2   → x = 0,6 20 ≅ ∓ 0,17 m

Posições:

x = 0,17 m

x = - 0,17 m

Passo 4

d):

x t = A c o s ( ω t + ϕ )

Bom, já sabemos ω e A então:

x t = 0,35 c o s ⁡ ( 7,07 t + ∅ )

Vamos usar as informações que temos para t = 0 . Sabemos que quando t = 0 , a posição da partícula é x = 0,20 . Logo:

0,20 = 0,35 cos ⁡ 0 + ∅ → cos ⁡ ∅ = 0,20 0,35 ≅ 0,57

E o ângulo que tem esse cosseno é:

A c o s 0,57 ≅ 0,942 r a d

Logo, a equação fica:

x t = 0,35 c o s ⁡ ( 7,07 t + 0,942 )

Passo 5

e):

Pra achar a expressão da aceleração basta derivar duas vezes x t :

d x t d t = - ω A s e n ω t + ∅

d 2 x t d t 2 = - ω 2 A c o s ω t + ∅ = a

Bom, o valor máximo da aceleração acontece quando c o s ω t + ∅ = 1 .Logo, o módulo do valor máximo é:

a = ω 2 A = 7,07 2 . 0,35 ≅ 17,5 m / s 2

E como a força é dada por:

F = m a

A força máxima é:

F m á x = 0,4 x 17,5 ≅ 7 N

Resposta

a):

E M = 1.2 J

b):

A ≅ 0,35 m

ω = 50 ≅ 7,07 m

c):

x = 0,17 m

x = - 0,17 m

d):

x t = 0,35 c o s ⁡ ( 7,07 t + 0,942 )

e):

a ≅ 17,5 m / s 2

F m á x ≅ 7 N

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