Uma partícula que pode-se mover livremente ao longo do eixo x têm uma energia potencial da forma

U x = β 2 - e - x 2 ,

Onde β é uma constante positiva. Para posições da partícula na região - α ≤ x ≤ α , onde α também é uma constante positiva, pode-se dizer que:

  1. Para pequenos deslocamentos em relação a x = 0 , o movimento é harmônico simpes com constante elástica 2 β .
  2. Se x é não-nulo ( x ≠ 0 ), existe uma força que faz que a partícula fique cada vez mais distante de x = 0 .
  3. Se a energia mecânica total é β / 2 , a energia cinética é mínima em x = 0 .
  4. Para pontos distantes da origem, a partícula está em equilíbrio instável.
  5. Para pequenos deslocamentos em relação a x = 0 , o movimento é harmônico simples com constante elástica β .

Passo 1

Para o movimento harmônico simples, a energia potencial tem a forma

U x = 1 2 k x 2

Onde o ponto de equilíbrio é o mínimo (derivada igual a zero) dessa função ( x = 0 ), e esse equilíbrio é estável, pois a função é côncava para cima (derivada segunda é positiva).

d 2 U d x 2 = k > 0

O módulo da força derivada deste potencial é

F = - d U d x = - k x

Que é uma força restauradora.

Vamos aplicar essas mesmas análises para o potencial do enunciado!

Passo 2

O ponto de equilíbrio dessa equação é

d U d x = β   d d x [ 1 - e - x 2 ] = 0

2 β x e - x 2 = 0

Então o único ponto de equilíbrio é x = 0 , logo “(d) Para pontos distantes da origem, a partícula está em equilíbrio instável. Está errado.

A força gerada por esse potencial vai ser

F = - d U d x = - 2 β x e - x 2

Que é uma força restauradora: faz com que a partícula retorne ao ponto de equilíbrio. Então, “(b) Se x é não-nulo ( x ≠ 0 ) , existe uma força que faz que a partícula fique cada vez mais distante de x=0” é errado!

Passo 3

Se observarmos a derivada segunda nesse ponto:

d 2 U d x 2 = 2 β 1 - 2 x 2 e - x 2

d 2 U d x 2 = 2 β > 0

É um ponto de equilíbrio estável: energia potencial mínima. Logo, a energia cinética vai ser máxima. “(c) Se a energia mecânica total é β/2, a energia cinética é mínima em x=0 também está errada.

E comparando a derivada segunda que acabamos de calcular com aquela do movimento harmônico simples, vemos que para pequenos deslocamentos em relação ao ponto de equilíbrio:

k = 2 β

Resposta

  1. Para pequenos deslocamentos em relação a x=0, o movimento é harmônico simpes com constante elástica 2β.

Exercícios de Livros Relacionados

Um furo de raio R / 4 é perfurado através de um cilindro de raio R para formar um corpo de massa m como mostrado. Se o corpo rola sobre a superfície horizontal sem deslizar, determine o período τ para
Um bloco de massa M = 5,4k g , em repouso em uma mesa horizontal sem atrito, está ligado a um suporte rígido através de uma mola de constante elástica k = 6000N / m . Uma bala de massa m = 9,5g e velo
Uma partícula de 10g executa um MHS com uma amplitude de 2,0m m , uma aceleração máxima de módulo 8,0.10 3 m / s 2 e uma constante de fase desconhecida φ . Qual é (a) o período do movimento, (b) a vel
Uma mola de massa desprezível está pendurada no teto com um pequeno objeto preso à extremidade inferior. O objeto é inicialmente mantido em repouso em uma posição y , tal que a mola se encontra no est
Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco preso a uma mola com k = 200N / m . O bloco desliza em uma superfície sem atrito, com o ponto de equilíbrio em x = 0 e uma amplitude de 0,20m . O