Uma mola de constante elástica K tem uma extremidade fixada numa parede e a outra, no centro de um disco de massa M, que pode movimentar-se numa superfície horizontal. No instante inicial, o disco está em repouso na posição de equilíbrio. A partir da posição de equilíbrio, o disco é puxado para a direita até que a elongação da mola seja A . Depois de solto a partir da posição x = + A , o disco rola sem deslizar, realizando um movimento harmônico simples. A frequência angular do movimento é:

a) ω = 2 K 3 M

b) ω = K M

c) ω = 3 K 2 M

d) ω = 4 K 3 M

e) ω = 3 K 4 M

Passo 1

Esse é meu exercício favorito de toda a P1 de 2019 e eu vou te explicar por que!

Ele fala que o cilindro rola sem deslizar e executa um MHS preso à mola. Queremos saber qual a frequência do MHS. Para isso poderíamos considerar as forças agindo no disco e usar a segunda lei de Newton, caindo numa equação diferencial que daria ω . Mas nesse caso isso ia ser bem complicado, então vamos fazer de um jeito diferente que eu particularmente amo muito 😊

A sacada aqui é escrever uma expressão para a energia mecânica, que terá três termos: a energia cinética de translação, a energia cinética de rotação e a energia potencial elástica da mola.

A energia cinética de translação do disco é dada por

K t r a n s = 1 2 M v 2

Já a energia cinética de rotação é

K r o t = 1 2 I ω r o t 2

onde ω r o t é a velocidade angular de rotação do disco. Não confundir ω (frequência angular do MHS) com ω r o t (velocidade angular de rotação do disco)! A energia potencial elástica armazenada na mola é

U = 1 2 K x 2

Somando as três parcelas obtemos a energia mecânica:

E = 1 2 M v 2 + 1 2 I ω r o t 2 + 1 2 K x 2

Passo 2

Para que haja rolamento sem deslizamento, existe uma relação entre ω r o t e v :

ω r o t = v R

Para entender melhor isso, veja a figura:

Para uma rotação pura, todos os pontos da extremidade do disco terão uma velocidade de rotação dada por

v r o t = ω r o t R

Essa velocidade é sempre tangente ao disco!

Já na translação pura, todos os pontos de movem para a direita com velocidade v . O movimento de rolamento é a soma dos dois movimentos. No ponto de contato com o solo, a velocidade é

v c o n t a t o = v - v r o t = v - ω r o t R

Para que haja deslizamento sem rolamento, a velocidade desse ponto de contato deve ser nula:

v - ω r o t R = 0 ⇒ ω r o t = v R

Além disso, o enunciado deu

I = 1 2 M R 2

Desta forma,

E = 1 2 M v 2 + 1 2 ⋅ 1 2 M R 2 ⋅ v R 2 + 1 2 K x 2

Portanto,

E = 3 4 M v 2 + 1 2 K x 2

Essa é a expressão para a energia do sistema em função de v e x . Mas como

v = d x d t

podemos escrever

E = 3 4 M d x d t 2 + 1 2 K x 2

Passo 3

Até aqui foi só física 1, agora que vem a brincadeira legal! Vamos derivar essa equação com relação ao tempo! Não se esqueça de usar a regra da cadeia! Derivando o primeiro termo:

d d t 3 4 M d x d t 2 = 3 4 M ⋅ 2   d x d t ⋅ d d t d x d t = 3 2 M d x d t ⋅ d 2 x d t 2

Para o segundo termo:

d d t 1 2 K x 2 = 1 2 K ⋅ 2 x ⋅ d x d t = K x d x d t

Juntando tudo:

d E d t = 3 2 M d x d t d 2 x d t 2 + K x d x d t

Colocando d x / d t em evidência:

d E d t = d x d t   3 2 M d 2 x d t 2 + K x

Como o rolamento é sem deslizamento, podemos garantir que a energia mecânica é conservada. Assim,

d E d t = 0

já que ela não varia com o tempo. Assim,

d x d t   3 2 M d 2 x d t 2 + K x = 0

Portanto,

3 2 M d 2 x d t 2 + K x = 0

Para transformação essa equação na EDO do MHS, multiplicamos toda equação por 2 / 3 M :

d 2 x d t 2 + 2 K 3 M   x = 0

Essa é exatamente uma equação de MHS do tipo

d 2 x d t 2 + ω 2 x = 0

Portanto,

ω 2 = 2 K 3 M ⇒ ω = 2 K 3 M

A resposta está na alternativa A!

Olha que bonitinho que foi: usamos apenas a conservação da energia para obter a equação diferencial do MHS. Podemos fazer isso em muitos problemas, então nunca esquece esse método: sempre que for complicado demais usar as leis de Newton para achar a equação, esse método pode ser muito útil!

Resposta

Alternativa A.

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