Em um oscilador harmônico simples como é afetada, pela duplicação da amplitude, cada uma das seguintes grandezas: período, energia total, velocidade máxima e aceleração máxima?

Passo 1

Então, pra falar de oscilador harmônico eu vou supor que temos dois osciladores. Se liga!

Oscilador 1:

x 1 t = x m cos ⁡ ( ω t + φ )

E pra esse nosso oscilador1 eu vou achar a velocidade e a aceleração. Lembra que a velocidade é a primeira derivada da posição e a aceleração a segunda derivada? Então, vai ficar assim:

x ˙ 1 t = - ω x m sin ⁡ ( ω t + φ )

x ¨ 1 t = - ω 2 x m cos ⁡ ( ω t + φ )

Beleza! Agora eu vou fazer a mesma coisa pro meu oscilador 2, que tem o dobro da amplitude do oscilador 1.

Oscilador 2:

x 2 t = 2 x m cos ⁡ ( ω t + φ )

x ˙ 2 t = - 2 ω x m sin ⁡ ( ω t + φ )

x ¨ 2 t = - 2 ω 2 x m cos ⁡ ( ω t + φ )

Então agora que achamos posição, velocidade e aceleração pros dois caras, vamos ver como variam essas grandezas que ele falou no enunciado.

Passo 2

A primeira grandeza é o período! Lembra da fórmula do período? É essa:

T = 2 π m k

Bom, de um oscilador pra outro só mudou a amplitude né? Massa e constante da mola continuaram a mesma coisa.

Então quando a amplitude dobra, o período NÃO MUDA.

Passo 3

A segunda grandeza é a energia total. E energia total é a energia mecânica! Também temos uma fórmula pra ela:

E M = k x m 2 2

Então vamos calcular a energia mecânica pros dois osciladores!

Oscilador 1:

E M 1 = k x m 2 2

Oscilador 2:

E M 2 = k ( 2 x m ) 2 2

E M 2 = 4 k x m 2 2

Ou seja, quando a amplitude dobra a energia total QUADRIPLICA.

Passo 4

E a velocidade máxima, como vai se alterar?

Nós achamos as velocidades pros dois osciladores, certo? Elas são:

x ˙ 1 t = - ω x m sin ⁡ ( ω t + φ )

x ˙ 2 t = - 2 ω x m sin ⁡ ( ω t + φ )

Beleza! No oscilador 1 qual vai ser a amplitude da velocidade? Vai ser o valor máximo que x ˙ 1 t pode assumir, ou seja, quando sin ⁡ ( ω t + φ ) = - 1 ! Show? Então no oscilador 1:

v 1 m á x i m a = ω x m

E no oscilador 2:

v 2 m á x i m a = 2 ω x m

Ou seja: quando a amplitude duplica a velocidade máxima também duplica.

Passo 5

Na última grandeza, aceleração máxima, vamos usar o mesmo raciocino que na velocidade máxima. Então vamos lá, já achamos as acelerações pros dois osciladores:

x ¨ 1 t = - ω 2 x m cos ⁡ ( ω t + φ )

x ¨ 2 t = - 2 ω 2 x m cos ⁡ ( ω t + φ )

E a aceleração máxima vai ser a amplitude dessas funções. Ou seja:

a 1 m á x i m a = ω 2 x m

a 2 m á x i m a = 2 ω 2 x m

Então quando a amplitude duplica a aceleração máxima também duplica.

Resposta

Período: Não muda.

Energia total: Quadriplica.

Velocidade máxima: Duplica.

Aceleração máxima: Duplica.

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