A figura ao lado é o diagrama de energia potencial para uma trajetória de massa m = 100   g , que está sujeita à força conservativa F x = - k   x - x 0 , onde k = 10   N / m . A partícula é liberada do repouso na posição x t = 0 = 8   m , com energia mecânica total E t o t a l , represnetada na figura por uma linha horizontal tracejada. Com base nestas informações podemos afirmar que a equação horária que descreve a velocidade da partícula em m / s , é:

a) v t = - 80   s e n   10 t - π 2

b) v t = - 20   s e n   10 t

c) v t = - 80   s e n   ( 10 t )

d) v t = - 20   s e n   10 t + π 2

e) v t = - 20   s e n   ( 10 t + π )

Passo 1

Fala galera, prontos para mais um problema de MHS da POLI?

A questão forneceu um diagrama de energia para o movimento. Note que o mínimo do potencial ocorre em x = 6   m , e olhando para onde a energia mecânica total corta o gráfico, vemos que o corpo oscila entre x = 4   m e x = 8   m . Já conseguimos tirar daí que a amplitude é A = 2   m .

A equação horária da posição é do tipo

x t = 6 + 2 cos ⁡ ω t + ϕ

O 6 representa a posição de equilíbrio e 2 a amplitude. Quando cos ⁡ ( ω t + ϕ ) = 1 , a posição é x = 8   m ; e quando cos ⁡ ( ω t + ϕ ) = - 1 , a posição é x = 4   m .

Derivando nós achamos a velocidade:

v t = d x d t = - 2 ω   s e n   ( ω t + ϕ )

Passo 2

Para uma partícula de massa m executando um MHS presa a uma mola de constante elástica k , sabemos que

ω 2 = k m

Como k = 10   N / m e m = 0,1   k g :

ω 2 = 10 0,1 = 100 ⇒ ω = 10   r a d / s

Muito cuidado para não deixar a massa em gramas!!!

Já temos que

x t = 6 + 2 cos ⁡ 10 t + ϕ

v t = - 20   s e n   10 t + ϕ

Passo 3

Para achar ϕ , usamos a informação que em t = 0 a partícula está em repouso na posição x = 8   m . Assim,

x 0 = 8 v 0 = 0 ⇒ cos ⁡ ϕ = 1 s e n   ϕ = 0

Desta forma,

ϕ = 0

Portanto,

x t = 6 + 2 cos ⁡ 10 t

v t = - 20   s e n   10 t

A resposta está na alternativa B 😊

Passo 4

O problema podia perguntar também qual é a energia mecânica total do sistema, então só pra treinar, vamos calculá-la! A energia mecânica é a soma da energia cinética com a potencial:

E t o t a l = 1 2 m v 2 + 1 2 k x - x 0 2

Você pode colocar as expressões para x ( t ) e v ( t ) na equação acima que você vai chegar na resposta, mas existe um jeito muito mais legal!

A energia mecânica do sistema se conserva, então podemos escolher um instante de tempo particular para usar a fórmula. Vamos escolher um instante que a deformação da mola é máxima, de modo que x - x 0 = A e v = 0 . Assim,

E t o t a l = 1 2 k A 2

Substituindo os valores:

E t o t a l = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 2 2 = 20   J

Note que poderíamos escolher também o instante em que x = x 0 (deformação da mola é nula) e a velocidade é máxima: v = v m a x . Assim,

E t o t a l = 1 2 m v m a x 2

Note que essa é uma forma de relacionar a amplitude da velocidade com a amplitude do movimento:

1 2 m v m a x 2 = 1 2 k A 2

Tudo que eu discuti nesse passo é desnecessário para esse problema, mas é sempre bom saber desses truques 😉

Resposta

Alternativa B.

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