Uma massa m   =   0,20   k g é presa a duas molas, ambas de constante elástica k   =   40   N / m , conforme a figura abaixo. A coordenada x mede o deslocamento da massa em relação à sua posição de equilíbrio, onde ambas as molas encontram-se relaxadas.

a)Use a segunda lei de Newton para obter a equação de movimento, que relaciona x   e x ¨ = d 2 x d t 2 .

b) No instante t   =   0 a massa encontra-se em x   =   0 ,   05   m , com velocidade v   =   0 . Escrevendo a equação para o deslocamento instântaneo na forma x ( t )   =   x m   c o s ( ω   t   +   ϕ ) determine os valores numéricos de x m ,   ω   e   ϕ .

c) Determine a energia total do sistema, nas condições do ítem (b).

Passo 1

a)

temos:

F = m a

A força é elástica:

F = - 2 k x

Além disso:

a = x ¨ = d 2 x d t 2

Assim:

m x ¨ = - 2 k x

Opa! Por que 2 x ? Porque são duas molas, quando uma é distendida em x metros, a outra é comprimida em x metros. Assim, a força fica duplicada.

x ¨ + 2 k m x = 0

Passo 2

b)

Pelo enunciado, sabemos que:

x 0 = 0,05 m

v 0 = 0

Da equação:

x ¨ + 2 k m x = 0

Assim:

ω = 2 k m = 2.40 0,20 = 20 r a d / s

Agora, usando a função do deslocamento e da velocidade em t = 0 :

x t =   x m cos ⁡ ω   t   +   ϕ

t = 0

x 0 = 0,05 = x m c o s ⁡ ( ϕ )

E:

v t = d x t d t = - ω x m s e n ω t + ϕ

Para t = 0 :

v 0 = 0 = - ω x m s e n ϕ → s e n ϕ = 0 → ϕ = 0

Assim, jogando na primeira equação:

0,05 = x m cos ⁡ 0 → x m = 0,05 m

Logo:

x t = 0,05 c o s ⁡ ( 20 t )

Passo 3

A energia total é dada por:

E M = k A 2 2

Nas notações desse problema:

E M = k e q x m 2 2

Porém, nesse caso, k e q = 2 k . Por fim:

E M = 2 k x m 2 2 = k x m 2 = 40 . 0,05 2 = 0,1 J

Resposta

a)

x ¨ + 2 k m x = 0

b)

ω = 20 r a d / s

ϕ = 0

x m = 0,05 m

c)

E M = 0,1 J

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