Considere um sistema massa-mola com um bloco de 200   g de massa preso à extremidade da mola e oscilando com amplitude de 15   c m , repetindo o movimento a cada 1   s . A posição do bloco pode ser descrita por x t = x m cos ⁡ ω t + ϕ . Sabendo que após 0,24   s do início do movimento, o bloco atinge a sua posição máxima (positiva). Considere as afirmações como verdadeira ou falsa. (Considere π = 3 ).

a) ( ) A frequência angular do movimento é de aproximadamente 6   r a d / s .

b) ( ) A constante elástica da mola é aproximadamente 7,2   N / m .

c) ( ) A energia cinética do sistema é máxima na posição máxima que o bloco atinge.

d) ( ) A energia mecânica do sistema é aproximadamente igual a 0,08   J .

e) ( ) A velocidade máxima que o bloco atinge é de aproximadamente 0,9   m / s .

f) ( ) Podemos determinar que a constante de fase ϕ é igual a - 0,48 π .

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Prontos para fazer uma questão de prova sobre MHS?

Só para lembrar rapidinho o que acontece num sistema massa-mola, escrevemos a segunda lei de Newton para esse tipo de sistema:

m d 2 x d t 2 = - k x → d 2 x d t 2 + k m x = 0

Definimos ω 2 = k / m , de modo que

d 2 x d t 2 + ω 2 x = 0

A solução dessa equação diferencial é

x t = x m cos ⁡ ω t + ϕ ,

onde x m e ϕ são constantes determinadas pela condição inicial. No caso, x m representa a amplitude, de modo que

x m = 15   c m = 0,15   m

Além disso, o enunciado disse “repetindo o movimento a cada 1   s ”. Essa informação é o período de oscilação:

T = 1   s

Sabemos que o período se relaciona com a frequência angular ω por

T = 2 π ω

Com isso,

ω = 2 π T

Usando π = 3 , achamos

ω = 2 ⋅ π 1 = 2 π   r a d / s           o u           ω = 6   r a d / s

Desta forma, vemos que a afirmativa (a) é VERDADEIRA!

Passo 2

Para verificar a afirmativa (b), basta lembrar que

ω 2 = k m → k = m ω 2

Usando m = 0,2   k g e ω = 2 π   r a d / s :

k = 0,2 ⋅ 2 π 2 = 0,8 ⋅ π 2

Como π = 3 , temos

k = 0,8 ⋅ 9 → k = 7,2   N / m

Portanto, a afirmativa (b) também é VERDADEIRA!

Passo 3

Já a afirmativa (c) é FALSA! Na posição de deformação máxima da mola (ponto de retorno), a velocidade é nula, de modo que a energia cinética é mínima (nula), não máxima. Lembre-se que a energia mecânica é conservada, de modo que a soma da energia cinética K com a energia potencial elástica U é constante ao longo do movimento:

K + U = c o n s t a n t e

Quando U é máximo, K é mínimo, e vice versa. No ponto de máxima deformação, a energia potencial elástica é máxima, de modo que a energia cinética é mínima.

Podemos usar essa mesma ideia para calcular a energia mecânica do sistema:

E = K + U

Como K + U = c o n s t a n t e , podemos escolher uma posição conveniente para fazer essa conta. Vamos escolher o ponto de deformação máxima da mola, onde K = 0 e

U m a x = k x m 2 2

Portanto,

E = 0 + U m a x = k x m 2 2

Substituindo os valores:

E = 7,2 ⋅ 0,15 2 2 = 0,081   J

Com isso, vemos que a afirmativa (d) é VERDADEIRA!

Passo 4

Para achar a velocidade máxima, basta lembrar que isso ocorre na posição em que x = 0 (deformação nula na mola). Nessa posição, apenas a energia cinética contribui para a energia mecânica:

E = 1 2 m v m a x 2 → v m a x = 2 E m

Usando E = 0,081   J e m = 0,2   k g , temos

v m a x = 2 ⋅ 0,081 0,2 = 0,9   m / s

Portanto, a afirmativa (e) também é VERDADEIRA!

Passo 5

Agora falta só o item (f) para encerrarmos o problema. Temos que descobrir o valor de ϕ .

Sabemos que

x t = x m cos ⁡ ω t + ϕ

Como x m = 0,15   m e ω = 2 π   r a d / s , podemos escrever

x t = 0,15 cos ⁡ 2 π   t + ϕ

Agora vem o pulo do gato: o enunciado disso que para t = 0,24   s , temos x = x m = 0,15   m . Logo,

0,15 = 0,15 cos ⁡ 2 π ⋅ 0 , 24 + ϕ

Com isso,

cos ⁡ 0,48 π + ϕ = 1

Para que o cosseno seja um, o argumento deve ser nulo:

0,48 π + ϕ = 0 → ϕ = - 0,48 π

Isso mostra que a afirmativa (f) também é VERDADEIRA!

Resposta

(a) V (b) V (c) F (d) V (e) V (f) V

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