Um bloco de 0,400   k g preso a uma mola oscila com frequência de 5,0   H z e a amplitude de seu movimento é de 8,0   c m .

a ) Encontre o valor da constante elástica da mola, o valor máximo da velocidade do bloco e a energia total do sistema bloco-mola.

b ) Encontre os módulos da velocidade e da aceleração do bloco quando ele passa pela posição x = 4,0   c m .

c ) Determine o menor tempo que o bloco leva para ir de x = 0   c m até a posição x = 4,0   c m .

d ) Em que posição a energia potencial elástica é metade da energia cinética?

Passo 1

Sabemos que o movimento harmônico simples tem a seguinte equação da posição em função do tempo:

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ

Pelas informações dadas no enunciado, temos que a amplitude A , será:

A = 8,0   c m = 0,08   m

E que a frequência angular ω será dada por:

ω = 2 . π . f

ω = 2 . π . 5 = 10 . π   r a d / s

A nossa equação ficará:

x t = 0,08 cos ⁡ ( 10 . π . t )

Perceba que estou considerando ϕ = 0 .

Agora que temos a equação do movimento, vamos calcular a sua primeira derivada, pois assim teremos a equação da velocidade em função do tempo:

x ˙ t = v t = 10 . π .   0,08 .   ( - sen ⁡ ( 10 . π . t ) )

v t = - 2,51 . se n ⁡ ( 10 . π . t )

Vamos calcular também a segunda derivada para obter a equação da aceleração em função do tempo:

x ¨ t = a t = 10 . π .   10 . π .   0,08 .   ( - cos ⁡ ( 10 . π . t ) )

a t = - 78 ,   96 . cos ⁡ ( 10 . π .   t )

Agora que temos as equações que regem o movimento, vamos calcular o que é pedido!

Passo 2

a )

Para determinar a constante elástica, precisamos relembrar da seguinte relação:

ω = k m

Substituindo os valores, temos:

10 . π = k 0,400

k = 394,9   N / m

Passo 3

Pela equação da velocidade, vemos que seu valor será máximo quando, sen ⁡ ( 10 . π . t ) for igual a - 1 , quando isso ocorrer, temos que a velocidade será:

v t = - 2,51 . - 1 = 2,51   m / s

v m á x = 2,51   m / s

Passo 4

Para determinar a energia total do sistema, é mais simples determiná-la quando ela é puramente cinética ou puramente potencial elástica. Ela será puramente cinética quando a velocidade é máxima, e puramente potencial elástica quando a amplitude é máxima. Sabendo que a amplitude máxima é x = 0,08   m , temos:

E T = k . x 2 2

E T = 394,9 .   0,08 2 2 = 1,26   J

Poderíamos também calcular usando o ponto onde a velocidade é máxima, nesse caso teríamos E T = m . v m á x 2 2 , fazendo a conta você deve achar o mesmo valor acima!

Passo 5

b )

Para determinar a velocidade e a aceleração para quando x = 4,0   c m , precisamos determinar em que tempo t o bloco se encontra nessa posição. Pois com essa informação, podemos calcular o que é pedido, pois já tempos as duas equações em função do tempo!

x t = 0,08 cos ⁡ ( 10 . π . t )

0,04 = 0,08 cos ⁡ ( 10 . π . t )

Ou seja:

cos ⁡ ( 10 . π . t ) = 1 2 → 10 . π . t = π 3

t = 1 30 s

Agora que temos o tempo, podemos calcular a velocidade e a aceleração, se liga!

v t = - 2,51 . sen ⁡ ( 10 . π . t )

v 1 30 = - 2,51 . sen ⁡ ( 10.180 . 1 30 )

Perceba que transformei o argumento do angulo de radianos para graus! Fique esperto!

v 1 30 = 2,17   m / s

Faremos agora o mesmo para a aceleração!

a t = - 78 ,   96 . cos ⁡ ( 10 . π .   t )

a 1 30 = - 78 ,   96 . cos ⁡ ( 10.180 . 1 30 )

a 1 30 = 39,5   m / s 2

Passo 6

c )

Para determinar o tempo que o bloco leva de x = 0   c m   até x = 4,0   c m , vamos usar a equação do movimento e determinar o tempo, se liga!

x t 1 = 0,08 cos ⁡ ( 10 . π . t 1 ) = 0

Para que isso ocorra, devemos ter 10 . π . t 1 = π 2 , ou seja:

t 1 = 1 20

Como ele quer o menor tempo, devemos utilizar o primeiro angulo depois de π 2 que satisfaça a equação abaixo!

x t 2 = 0,08 cos ⁡ ( 10 . π . t 2 ) = 0,04

Para que isso ocorra, devemos ter 10 . π . t 2 = 2 . π 3

t 2 = 1 15

O tempo necessário será:

t 2 - t 1 = 1 15 - 1 20 = 0,0167   s

Δ t = 0,0167   s

Passo 7

d )

Para calcular a posição onde a energia potencial elástica é metade da energia cinética, iremos utilizar a definição de energia mecânica, tendo em vista que já sabemos a energia mecânica E T do sistema:

E m e c = E T = K + U

No caso, teremos U = K 2 , então:

E T = 2 . U + U

E T = 3 . U = 3 . k . x 2 2

Substituindo os valores conhecidos, temos:

1,26 = 3 .   394,9   .   x 2 2

x = ± 0,046   m

Resposta

a ) k = 394,9   N / m ; v m á x = 2,51   m / s ; E T = 1,26   J

b ) v 1 30 = 2,17   m / s ; a 1 30 = 39,5   m / s 2

c ) Δ t = 0,0167   s

d ) x = ± 0,046   m

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