Um objeto preso em uma mola realiza um movimento harmônico simples de amplitude 4   c m . Quando o objeto se encontra a 2   c m da posição de equilíbrio, qual fração de sua energia total é energia potencial?

  1. Dois terços.
  2. Um terço.
  3. Metade.
  4. Um quarto.
  5. Três quartos.

Passo 1

Vamos lembrar da equação do MHS:

x t = x m cos ⁡ ω t + φ

E derivando pra achar a velocidade:

x ˙ t = - x m ω s e n ω t + φ

Passo 2

A energia cinética é:

E c = m v 2 2

E c = m x ˙ t 2 2

Substituindo:

E c = m - x m ω s e n ω t + φ 2 2

E c = m x m 2 ω 2 s e n 2 ω t + φ 2

E a energia potencial:

E p = k x 2 2

Substituindo:

E p = k x m cos ⁡ ω t + φ 2 2

E p = k x m 2 c o s 2 ω t + φ 2

A energia total é:

E p + E c = m x m 2 ω 2 s e n 2 ω t + φ 2 + k x m 2 c o s 2 ω t + φ 2

Trocando ω por k m :

E p + E c = k x m 2 s e n 2 ω t + φ 2 + k x m 2 c o s 2 ω t + φ 2

cos 2 ⁡ a + sin 2 ⁡ a = 1

E p + E c = k x m 2 2

Passo 3

Agora vamos dividir a energia potencial pela total:

E p E p + E c = k x ( t ) 2 2 k x m 2 2

Agora, repare que ele deu a amplitude, x m = 4   c m , e também disse que o objeto está a 2   c m da posição de equilíbrio. Então:

x = 2   c m

Substituindo:

E p E p + E c = k 2 2 2 k 4 2 2

E p E p + E c = 1 4

Resposta

Letra D

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