Um oscilador harmônico, composto de um bloco de massa m = 0,25   k g e uma mola de constante elástica k desconhecida, oscila de acordo com a função posição mostrada na figura. Considere que o oscilador é governado pela equação x t = 1,50   s e n ω t + ϕ , com as grandezas no sistema internacional.

Determine:

(a) A frequência angular e a constante elástica da mola

(b) A constante de fase ϕ

(c) A(s) posição(ões) do bloco para que a energia potencial elástica seja metade da energia mecânica total

(d) O menor tempo para que o bloco vá da posição x = - 1,00 m até o ponto de equilíbrio.

Passo 1

Pela figura vemos que o tempo entre um máximo e um mínimo, ou seja, meia volta, é Δ t = π / 2   s . Como o período é o tempo em que a oscilação completa uma volta temos que

T = 2 Δ t = 2 × π 2

T = π   s

Passo 2

A massa se relaciona com a frequência angular por

ω = k m

Por outro lado, a frequência angular se relaciona com o período de oscilação por

ω = 2 π f = 2 π T

Assim, temos que

2 π T = k m → k m = 2 π T 2

k = m 2 π T 2

Substituindo os valores

k = 0,25 2 π π 2 = 0,25 × 2 2

k = 1   N / m

Passo 3

Sabemos, pelo enunciado, que

x t = 1,50   s e n ω t + ϕ

Se olharmos o gráfico, basta escolher um ponto e substituir. Eu acho que fica mais tranquilo escolher t = 0 por que isso facilita um pouco as coisas. No gráfico temos que

t = 0 → x = - 0,5   m

A posição é - 0,5 , por que tem 3 escalas em x correspondendo à amplitude de oscilação que é 1,5 m .

Assim

x 0 = 1,5 s e n ϕ = - 0,5

s e n ϕ = - 1 3

ϕ = a r c s e n - 1 3

Jogando na calculadora podemos ter dois resultados possíveis

ϕ = - 19,5 º   o u   - 160,5 º

Passo 4

Pra saber qual dos dois é o correto basta olhar a velocidade. Como

x t = 1,50   s e n ω t + ϕ

A velocidade vai ser dada por

v t = d x d t = 1,5 ω   c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

Testando as duas possibilidades

v t = ϕ = - 19,5 º → cos ⁡ - 19,5 º > 0 ϕ = - 160,5 º → cos ⁡ - 160,5 º < 0

Olhando o gráfico no tempo t = 0 , vemos que a velocidade é negativa! Assim a opção que se ajusta pra essa velocidade será ϕ = - 160,5 º

ϕ = - 160,5 º

Passo 5

A energia potencial do OHS é

U x = 1 2 k x 2

Já a energia mecânica é dada por

E = K + U = 1 2 m v 2 + 1 2 k x 2

A energia mecânica é constante, só fica alternando entre potencial e cinética. Quando a mola está totalmente esticada a velocidade é nula e a posição é a amplitude do movimento, ou seja

E = 0 + 1 2 k A 2 = 1 2 k A 2

Como queremos que a energia potencial seja metade da energia mecânica basta fazer

U = 1 2 E

1 2 k x 2 = 1 2 1 2 k A 2 → x 2 = A 2 2

x = ± A 2

Como a amplitude é A = 1,5   m

x = ± 1,06 m

Passo 6

Vamos considerar que num tempo t 1 , o bloco esteja na posição x = - 1 e que num tempo t 2 esteja na origem, assim

1,5 s e n ω t 1 + ϕ = - 1 → ω t 1 + ϕ = a r c s e n - 2 3

1,5 s e n ω t 2 + ϕ = 0 → s e n ω t 2 + ϕ = 0 → ω t 2 + ϕ = 0

Subtraindo as duas equações

ω t 2 - ω t 1 = - a r c s e n - 2 3

ω t 2 - t 1 = a r c s e n - 2 3

Como

ω = 2 π T

t 2 - t 1 = T 2 π a r c s e n - 2 3

t 2 - t 1 = - π 2 π - 0,729

t 2 - t 1 = 0,365   s

Resposta

(a)

T = π   s

k = 1   N / m

(b)

ϕ = - 160,5 º

(c)

x = ± 1,06 m

(d)

t 2 - t 1 = 0,365   s

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