Exercícios Resolvidos de Equilíbrios

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Enunciado

Um aparato bastante utilizado em Nanotecnologia é o microscópio de força atômica, que permite medir a força de interação entre a superfície da ponteira e a superfíce de uma amostra em escala nanométrica. Dentre os modelos usados para descrever essa interação está um variante do potencial Lennard-Jones, conhecido como potencial 9 - 6 , cuja forma funcional é dada abaixo:

U z = A [ B z 9 - B z 6 ]

Onde z é a distância entre a ponteira e a amostra, A e B são parâmetros do potencial, com unidades de energia distância, respectivamente, com A > 0 e B > 0 .

Passo 1

Letra a)

Como ele deu a expressão do potencial pra gente podemos calcular a força através dela derivando em relação a z !!

F z = - d U d z

F z = - ( A - 9 B 9 z 10 - - 6 B 6 z 7 )

F z = A 9 B 9 z 10 - 6 B 6 z 7

Passo 2

Bom, como ele quer equilíbrio, temos que a força precisa ser 0 , ok? Então agora que já temos uma expressão pra força, vamos usar ela pra ver quando ela vale 0

F z = A 9 B 9 z 10 - 6 B 6 z 7

0 = A 9 B 9 z 10 - 6 B 6 z 7

6 B 6 z 7 = 9 B 9 z 10

Isolando o z ficamos:

z e q = 3 2 1 3 B

Passo 3

Como ele quer a energia em um determinado ponto e eles nos deu a expressão da energia, é só nós aplicarmos o ponto que queremos na função da energia.

Lembrando:

U z = A [ B z 9 - B z 6 ]

U z e q = A B z e q 9 - B z e q 6

Substuindo agora o nosso zezin

U z e q = A 2 3 3 - 2 3 2 = - 4 A 27 < 0

Passo 4

Pelo que percebemos na letra a descobrimos as faixas de valores em que a Força é positiva e a Força é negativa.

F > 0   s e   0 < z < z e q

F < 0   s e   z > z e q

Ok, mas e os pontos de equilíbrios? Bom, a gente descobriu que só tem 1 só, certo? Se a gente pegar qualquer valor de z , tanto a esquerda quanto a direita, podemos ver que o potencial será maior que o nosso ponto de equilíbrio, ou seja, estamos tratando de um equilíbrio estável!

É igual uma montanha russa, que nem a gente viu lá nos tipos? Se fizer o gráfico do potencial, fica tipo isso aqui.

Passo 5

O ponto onde a força é nula nós já encontramos, certo? É o nosso ponto de equilíbrio

F = 0 →   z = z e q

Agora o ponto onde ela é mínima ... vamos ter que derivar mais uma vez pra achar os extremos da força, ok?

F z = A 9 B 9 z 10 - 6 B 6 z 7

F ' z = - A 90 B 9 z 11 - 42 B 6 z 8

Igualando essa expressão a 0 temos:

90 B 9 z 11 = 42 B 6 z 8

Sendo assim:

F = F m i n i m o → z = 15 7 1 3 B  

Passo 6

Para calcular o trabalho realizado, podemos usar a expressão de potencial para calcular a diferença de potencial entre os pontos que ele pede. Como ele quer da distância em que a força é mínima ( z m ) até um ponto infinito, temos:

U z m - U ∞

Onde z m = 15 7 1 3 B

Como o z é denominador na expressão do potencial, temos que U ( ∞ ) = 0, ou seja:

W = - U z m - 0

W = - A B z m 9 - B z m 6

W = - A B 15 7 1 3 B 9 - B 15 7 1 3 B 6

W = - A 7 15 3 - 7 15 2

W = A 7 15 2 1 - 7 15

W = A 7 15 2 8 15 > 0  

Resposta

Letra a)

F z = A 9 B 9 z 10 - 6 B 6 z 7

Letra b)

z e q = 3 2 1 3 B

Letra c)

U z e q = A 2 3 3 - 2 3 6 = - 4 A 27 < 0

Letra d)

Letra e)

F = F m i n i m o → z = 15 7 1 3 B  

Letra f)

W = A 7 15 2 8 15 > 0  

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