Exercícios Resolvidos de Equilíbrios

A energia potencial de um sistema é dada pela função U x = - x 3 + 2 x 2 + 4 x .

a) Determine a força F x como uma função de x ;

b) Para quais valores de x a força é nula?

c) Faça o gráfico de F x versus x ;

d) Faça o gráfico de U ( x ) versus x e indique os pontos de equilíbrio estável e instável.

Passo 1

a)

Lembrando a fórmula:

F = - d d t U x

Basta substituir a equação de U x e derivar, não esquecendo do sinal negativo na frente da derivada. Vamos lá, então:

F x = - d d t - x 3 + 2 x 2 + 4 x

F x = - - 3 x 2 + 4 x + 4

F x = 3 x 2 - 4 x - 4

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Passo 2

b)

Já possuímos a equação de F x em função de x , basta igualar a zero e encontrar os valores de x que satisfazem a equação.

F x = 3 x 2 - 4 x - 4

3 x 2 - 4 x - 4 = 0

Resolvendo as raízes da equação utilizando Bhaskará:

x 1 = - ( - 4 ) + 16 - 4   .   3 . - 4 2   .   3

x 1 = 2   m

x 2 = - - 4 + 16 - 4   .   3 . - 4 2   .   3

x 2 = - 2 3 m

Passo 3

c)

Para fazer o gráfico de F x por x basta fazer o gráfico da função que a gente achou para F x , ou seja, o gráfico de:

F x = 3 x 2 - 4 x - 4

Que é uma equação do segundo grau, de concavidade virada pra cima ( a > 0 ) e com raízes x 1 = 2   m e x 2 = - 2 3 m . Logo, teremos:

Passo 4

d)

É! Aqui vamos ter que plotar a equação do 3° grau. Essa função não é tãão comum de nos pedirem para desenhar, mas é importante saber desenha-la.

Precisamos de pelo menos três pontos para que a gente possa ter um feeling de onde se posicionam os extremos da função. Sabemos que um máximo local é em x 1 = 2 , um mínimo local é x 2 = - 2 3 , que ela não possui mais nenhum lugar onde a inclinação é nula, e que ele passa no ponto (0,0). Assim, podemos deduzir que a função é mais ou menos essa aqui:

Já te dei o spoiler de onde são os pontos de equilíbrio estável e instável, mas já sabemos que existe equilíbrio onde a força é nula, certo? Ou seja, nos pontos que encontramos na letra b. Pensando como se fosse uma bolinha correndo no gráfico, se eu colocar uma bolinha em x 1 = 2   e der um empurrãozinho pra qualquer um dos lados ela não voltará, certo? Logo ali temos um equilíbrio instável.

Já para x 2 = - 2 3 se eu der um mini empurrão a bolinha tenderá a voltar pra x 2 , né? Então aí é o ponto de equilíbrio estável!! :D~

Resposta

Indicadas! :DDDDDDDDD

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