Exercícios Resolvidos de Equilíbrios

Energia Potencial e Conservação de Energia

Considere um potencial, descrevendo uma força conservativa, dado pela função:

U x = k x 2 2 ,     s e   x < A  

K A 4 2 x ² ,                   s e   x ≥ A

  1. Faça o gráfico da função potencial U ( x ) e da força F ( x ) associada a este potencial, indicando os pontos de máximo e mínimos locais, os pontos que U ( x ) = 0 e F ( x ) = 0 , e os valores assintóticos para os limites de x → ∞ e x → - ∞   .
  2. Desejamos empregar este potencial para aprisionar uma partícula de massa M. Qual é a velocidade máxima v M da partícula, em x = 0, para que a mesma fique confinada no potencial?
  3. Para uma partícula com velocidade v   > v M , vinda de | x | A, podemos realizar o aprisionamento adicionando uma força dissipativa: na região entre - A   e   A , a partícula sofre pequenas variações de momento ∆ p , opostas ao seu deslocamento, a um intervalo médio τ   (muito menor que o tempo de voo nesta região), resultando em uma força de atrito constante F A = ∆ p τ se sua velocidade não for nula. Qual a velocidade máxima de aprisionamento da partícula em função dos parâmetros desta armadilha?

Passo 1

  1. Questãozinha meio “Cálculo 1”, mas vamos lá! Haha

    No gráfico do potencial teremos uma parábola de concavidade voltada para cima entre os valores de – A   e   A e uma curva que decresce em x ² para valores maiores que A e menores que – A .

    Passo 2

    Já para a força, sabemos que pode ser calculada por:

    F = - d U d x

    Para o intervalo entre –A e A, teremos que:

    F = - d U d x = - k x

    Já para valores menor que –A e maior que A, a gente vai ter:

    F = - d U d x = K A 4 x ³

    Isso nos dará o seguinte gráfico:

    Tanto no gráfico de U x quanto o do F x eles tocam o eixo x e x = 0 . Só existe mínimo local no gráfico do potencial, situado na origem do sistema.

    Nos limites assintóticos ambas as funções tendem a zero.

    Passo 3

    b)

    Em x = 0   a gente viu que temos um mínimo de potencial, ou seja, teremos uma energia cinética máxima. Desta forma, devemos achar o ponto em que o potencial seja máximo, para considerar que a energia cinética seja mínima.

    Pela conservação da energia mecânica, teremos:

    U i + K i = U f + K f

    U m a x i + 0 = K m a x i + 0

    Pela gráfico a gente vê que U m a x i = k A 2 2

    Assim, podemos reescrever...

    k A 2 2 = m v 2 2

    v = A k m

    Para uma partícula ficar confinada temos que ter K m a x i < U m a x i . Assim, teremos que:

    v < A k m

    Passo 4

    c)

    Vamos pensar da seguinte forma:

    Se não houvesse atrito, como a velocidade seria v o , sendo v o > 0 ,   a partícula iria embora e não ficaria aprisionada! :X

    Mas daí, como o enunciado nos afirma que existe atrito e esse atrito vai frear nossa partícula até deixá-la com velocidade pequena o suficiente para deixá-la presa!

    Assim, podemos escrever que a energia cinética ( K ) terá que ser dissipada pelo trabalho da força de atrito ( W a t ) para ficar dentro do potencial ( U ) . Em outras palavras...

    K - W a t = U

    K = U + W a t

    Desenvolvendo melhor isso aqui, teremos:

    m v o 2 2 = k A 2 2 + W a t

    v o = k A 2 + 2 W a t m  

    Mas e quem seria esse W a t ?

    Simples! Como nossa força de atrito é constante, podemos calcular o trabalho como W = F . d = F a t . 2 A = 2 F a t A

    Mas como F a t = ∆ p τ , teremos que:

     

    W a t = 2 ∆ p A τ

    Passo 5

    Mas e quem seria esse W a t ?

    Simples! Como nossa força de atrito é constante, podemos calcular o trabalho como W = F . d = F a t . 2 A = 2 F a t A

    Mas como F a t = ∆ p τ , teremos que:

     

    W a t = 2 ∆ p A τ

    Plim! Temos nossa resposta!

    v o = k A 2 + 4 ∆ p A / τ m  

    Para ficar aprisionada nessa situação uma partícula deve ter velocidade v < v o , ou seja...

    v < k A 2 + 4 ∆ p A / τ m  

    Resposta

  2. v < A k m
  3. v < k A 2 + 4 ∆ p A / τ m  
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