Exercícios Resolvidos de Equilíbrios

Conservação de Energia Mecânica

Uma partícula de massa m = 2,0   k g move-se em uma dimensão ao longo do eixo x e de acordo com a energia potencial, em J , dada por:

U x = - 3 x + x 3

a) Esboce o gráfico de U x × x , para - 3   m ≤ x ≤ 3   m

b) Encontre a força associada a esta energia potencial

c) Ache a(s) posição(ões) de equilíbrio, e identifique-o(s) como instável, estável ou indiferente. Justifique sua resposta.

d) Qual é o valor de U no ponto de equilíbrio instável?

e) Supondo que a partícula esteja inicialmente em repouso no ponto de equilíbrio estável de U x , qual é a mínima velocidade que se deve dar a ela para que seu movimento deixe de ser confinado?

Passo 1

a)

Se colocarmos o x em evidência:

U x = - 3 x + x 3

U x = x ( - 3 + x 2 )

Podemos encontrar os pontos onde a função U x = 0 .

x - 3 + x 2 = 0

Temos então as raízes:

x = 0

- 3 + x 2 = 0

x = ± 3

Como a função é um polinômio, dá para montarmos o gráfico da função apenas com as raízes. Vai ficar:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Basta utilizar a fórmula:

F = - d U d x

F = - d d x - 3 x + x 3

F = - 3 x 2 + 3

Passo 3

c)

As posições de equilíbrio ocorrem onde F = 0 . Logo:

- 3 x 2 + 3 = 0

x = ± 1   m

Observando o gráfico conseguimos identificar que a posição x = - 1   m é um ponto de equilíbrio instável (pico de um morro) e a posição x = 1   m é um ponto de equilíbrio estável (um vale).

Passo 4

d)

Basta fazer a substituição:

U x = - 3 x + x 3

U - 1 = - 3   . - 1 + - 1 3

U - 1 = 2   J

Passo 5

e)

O movimento deixará de ser confinada se a partícula conseguir alcançar o ponto de equilíbrio instável com um infinitésimo de velocidade. Pois se isso acontecer ela vai sair do equilíbrio e se afastar cada vez mais no sentido de x negativo.

Vamos calcular a diferença de energia entre os pontos de equilíbrio instável e estável. Já calculamos o valor de U x no equilíbrio instável no item acima.

Para o equilíbrio estável:

U x = - 3 x + x 3

U 1 = - 3   .   1 + 1 3

U 1 = - 2   J

Logo, a diferença entre as energias é:

U - 1 - U 1 = 4   J

Ou seja, para que a partícula saia do confinamento, ela precisa receber mais que 4   J de energia. Agora é só utilizar a fórmula da energia cinética:

K = 1 2 m v 2

1 2 m v 2 > 4

1 2 . 2   .   v 2 > 4

v > 2   m / s

Resposta

a)

b) F = - 3 x 2 + 3

c) x = - 1   m : equilíbrio instável; x = 1   m : equilíbrio estável.

d) U - 1 = 2   J

e) v > 2   m / s

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