Exercícios Resolvidos de Equilíbrios

Uma partícula que pode-se mover livremente ao longo do eixo x tem uma energia potencial da forma

U x = β [ 1 - e - x 2 ]

onde - α   ≤   x   ≤ α   e α e β são constantes positivas. Pode-se dizer que:

A. Nenhuma das opções é certa.

B. Existem vários pontos de equilíbrio estável.

C. Para qualquer valor finito não nulo de x , existe uma força que faz que a partícula fique cada vez mais distante de x = 0 .

D. Se a energia mecânica total é β / 2 , a energia cinética é mínima em x = 0 .

E. x = 0 é um ponto de equilíbrio instável.

Passo 1

Nada de pânico com essa função estranha.

Vamos por partes.

A relação importante aqui é aquela sobre força e energia potencial:

F = - d U d x

E também algumas relações de cálculo 1.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos analisar cada letra.

(B)

Vamos ver os pontos críticos, isso é, os pontos em que nossa derivada se anula. Os pontos de derivada nula são pontos de equilíbrio, que podem ser estáveis ou instáveis. Isso vai depender do sinal da segunda derivada naquele ponto. Acompanha comigo:

d U d x = β 2 x e - x 2

Pra achar os pontos críticos:

d U d x = 0

β 2 x e - x 2 = 0   ⟺ x = 0

Beleza, temos só um ponto de equilíbrio em x, já que o único jeito de zerar aquela derivada é x = 0 .

A letra B tá errada.

Passo 3

(E)

Então, vamos descobrir se esse ponto é de máximo ou mínimo. Pra isso vamos calcular a segunda derivada de U :

d 2 U d x 2 = β 2 e - x 2 - β 4 x 2 e - x 2

d 2 U d x 2 = 2 β e - x 2 ( 1 - 4 x )

No nosso ponto de equilíbrio, ( x = 0 ) , temos:

d 2 U d x 2 = 2 β

Então:

d 2 U d x 2 > 0

Ou seja em x = 0 temos um ponto de equilíbrio ESTÁVEL.

Então, a letra E tá errada.

Passo 4

(D)

Equilíbrio estável significa que a partícula está no poço de potencial nas redondezas de x = 0

Então, como o próprio nome diz, esse é um ponto em que a energia potencial é mínima, logo a energia cinética deve ser máxima, pra poder manter a variação da energia mecânica nula.

Então a letra D tá errada.

Passo 5

(C)

Outra coisa, é que ele fala que a partícula pode se mover entre – α e α , então nesse intervalo, a força é:

F = - d U d x

F = - ( β 2 x e - x 2 )

Aquele sinal de menos ali indica que a força é restauradora (atrativa), ou seja, se a gente tentar puxar a partícula pra longe do x=0, vamos sentir uma força puxando a partícula de volta pra essa posição. Beleza?

Então a letra C também está errada.

B, C, D e E estão erradas.

Resposta

Alternativa A

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