Exercícios Resolvidos de Equilíbrios

Uma partícula se movimenta em uma dimensão sob a influência de uma força resultante conservativa, cuja energia potencial está mostrada na figura.

Sabendo que a energia mecânica da partícula é E e que inicialmente ela se encontra na posição x c , é correto afirmar que:

(a) Ela nunca passa pela posição x d .

(b) x a é um ponto de equilíbrio estável pois nele a força resultante sobre a partícula é nula.

(c) x b é um ponto de retorno pois nele a energia cinética é nula.

(d) A energia cinética da partícula é mínima em x b .

(e) x c é um ponto de equilíbrio instável pois nele a energia cinética é nula.

(f) A energia cinética da partícula é máxima em x c .

Passo 1

O enunciado diz que a única força atuando sobre a partícula é uma força conservativa.

Ou seja, a força não retira nenhuma energia do sistema. O que ela faz é converter energia cinética em energia potencial e vice-versa, de forma que a soma delas duas seja sempre constante:

E = U + K

Po, beleza.

Mas o que acontece quando a energia potencial U atinge o mesmo valor da energia total E ?

Bom, quando isso acontece, toda a energia está na forma de potencial e não sobra nenhuma parcela na forma de energia cinética.

Portanto, nesses dois pontos x a e x c , a velocidade da partícula chega a zero e ela retorna na outra direção. Esses são chamados os pontos de retorno e eles estão delimitando o movimento da partícula, pois ela nunca terá energia suficiente para ultrapassá-los.

Vamos analisar as opções.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a) Ela nunca passa pela posição x d .

Como vimos no Passo 1, os pontos de retorno x a e x c delimitam o movimento, portanto, a partícula nunca passa pela posição x d já que esse ponto está fora desse limite.

Ficamos com a resposta da letra (a), mas vamos dar uma olhada nas outras.

Passo 3

(b) x a é um ponto de equilíbrio estável pois nele a força resultante sobre a partícula é nula.

Isso está incorreto.

O ponto x a é um ponto de retorno, logo a velocidade da partícula nesse ponto é nula.

Já a força, é dada por menos a derivada do gráfico de energia potencial:

F x = - d U x d t

Então, como o gráfico tem uma certa inclinação nesse ponto, sua derivada não é nula e por isso a força não é nula.

Passo 4

(c) x b é um ponto de retorno pois nele a energia cinética é nula.

(d) A energia cinética da partícula é mínima em x b .

Vimos que os pontos de retorno são x a e x c , onde a energia potencial apresenta o mesmo valor da energia total.

No ponto x b em contrapartida, isso não acontece, inclusive, ele é o ponto de energia potancial mínima, o que significa que a energia cinética é máxima.

As afirmativa (c) e (d) são falsas.

Passo 5

(e) x c é um ponto de equilíbrio instável pois nele a energia cinética é nula.

(f) A energia cinética da partícula é máxima em x c .

A parte da letra (e) que diz que a energia cinética é nula no ponto x c está correta.

A energia cinética realmente é nula, mas isso não faz parte da definição de um equilíbrio instável.

Temos um caso de um equilíbrio estável aqui, pois a partícula fica sempre oscilando entre os pontos x a e x c , ou seja, a força conservativa sempre atrai a partícula de volta uma vez que ela chega no limite do movimento.

Diferentemente de um equilíbrio instável, onde a partícula não retorna.

Ambas afirmativas são falsas.

Resposta

Letra (a)

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