Exercícios Resolvidos de Equilíbrios

Tag 1, Tag 2, Tag 3, Tag 4

Uma partícula de massa m executa um movimento unidimensional e possui energia potencial cuja dependência com a coordenada x é U x = a x 2 - b x onde a e b são constantes positivas.

(a) Encontre a expressão da força que atua sobre a partícula como função da posição;

(b) Faça esboços das funções energia potencial e força como funções da posição da partícula.

(c) Encontre a(s) posição(ões) de equilíbrio da partícula sob a ação dessa força e classifique-o(s) de acordo com a estabilidade;

(d) Determine qual(ais) o(s) intervalo(s) de energia mecânica E m e c para o(s) qual(is) uma partícula sujeita a essa força possui movimento numa região limitada da reta.

(e) Determine qual(ais) o(s) intervalo(s) de energia mecânica E m e c para o(s) qual(is) uma partícula sujeita a essa força pode ser encontrada a distâncias arbitrariamente grandes da origem.

Passo 1

(a)

Basta lembrar que da fórmula que diz que a força é igual a menos a derivada da energia potencial, logo:

F x = - d U d x

F x = - d d x a x 2 - b x

F x = 2 a x 3 - b x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

Esboços de U ( x ) e F x :

Passo 3

(c)

As posições de equilíbrio correspondem a pontos da reta em que a força F ( x ) é nula, ou seja, nesse caso, há um único ponto que satisfaz essa condição:

F x e q = 2 a x e q 3 - b x e q 2 = 0

2 a x e q 3 = b x e q 2

x e q = 2 a b

A estabilidade pode ser determinada por meio do sinal da segunda derivada de U x no ponto de equilíbrio:

d 2 U d x 2 x   = 2 a b = 6 a x 4 - 2 b x 3 x   = 2 a b = b 4 8 a 3 > 0

Ou seja, a concavidade é voltada para cima, e portanto temos um ponto de equilíbrio estável.

Passo 4

(d)

Para valores de energia mecânica total no intervalo:

- b 2 4 a ≤ E m e c ≤ 0

Uma partícula posta na região x > 0 está confinada a mover-se entre os pontos x = x - e x = x + dados por:

U x ± = E m e c

a x ± 2 - b x ± = E m e c

x ± 2 + b E m e c x ± - a E m e c = 0

Logo:

x ± = 1 2 - b E m e c ± b 2 E m e c 2 + 4 a E m e c  

Passo 5

(e)

Na região x > 0 , no caso de energia mecânica positiva E m e c ≥ 0 , a partícula não pode ser encontrada a distâncias d menores do que x + , mas pode se afastar da origem por distâncias arbitrariamente grandes, movendo-se no sentido de x positivo. Na região x < 0 , a energia mecânica mínima é zero e a partícula não pode ser encontrada a distâncias d menores do que x - , mas pode se afastar da origem por distâncias arbitrariamente grandes, movendo-se no sentido de x negativo.

Resposta

Resposta

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas