Exercícios Resolvidos de Equilíbrios

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Enunciado

Uma partícula de massa m pode se deslocar em uma dimensão, submetida a um potencial dado por U x = 27 x 3 - 9 x + 2 em unidades do SI: U em Joules ( J ), e x em metros ( m ).

a ) Determine a expressão da força atuando sobre a partícula em função da posição x .

b ) Calcule as posições de equilíbrio da partícula.

c ) Determine as condições de equilíbrio em cada ponto, ou seja, se é estável, instável ou indiferente.

d ) Se uma partícula de massa m = 12   k g for deixada na condição de equilíbrio estável com velocidade de 1   m / s , ela realiza um movimento periódico? Justifique.

Passo 1

a )

Utilizando a relação:

F = - d U d x

F = - d d x 27 x 3 - 9 x + 2

F x = - 81 x 2 + 9

Passo 2

b )

As posições de equilíbrio ocorrem onde a derivada é zero, logo:

F = - d U d x = 0

- 81 x 2 + 9 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau temos duas soluções:

x 1 = - 1 3   m

x 2   = 1 3   m

Passo 3

c )

Basta observar o gráfico e ver o que acontece antes e depois do ponto de equilíbrio.

No ponto x = - 1 3 temos um ponto de máximo, ou seja, a função decresce antes e depois do ponto. Logo, x = - 1 3 é um ponto de equilíbrio instável.

No ponto x = 1 3 temos um ponto de mínimo, ou seja, a função cresce antes e depois do ponto. Logo, x = 1 3 é um ponto de equilíbrio estável.

Passo 4

d )

O ponto x = 1 3 é o ponto de equilíbrio, neste ponto, a energia potencial é zero segundo o gráfico. Logo a energia mecânica se dará apenas pela energia cinética:

K = 1 2 m v 2

K = 1 2 12 .   1 2

K = 6   J

Agora vamos analisar o gráfico, ao lado direito do ponto x = 1 3 o gráfico cresce infinitamente, logo a partícula irá alcançar determinada energia e voltar ao ponto de equilíbrio. Entretanto, no lado esquerdo ao ponto x = 1 3 o gráfico possui um ponto de máximo em que ele volta a decrescer depois. Esse ponto, segundo o gráfico possui energia potencial de 4   J , que é menor que 6   J , logo a partícula será capaz de passar por esse ponto e depois decrescer infinitamente, não retornando mais ao ponto x = 1 3 .

Portanto, o movimento não será periódico.

Resposta

a )   F x = - 81 x 2 + 9

b )   x 1 = - 1 3   m

x 2   = 1 3   m

c ) O ponto x = - 1 3 é um ponto de equilíbrio instável.

O ponto x = 1 3 é um ponto de equilíbrio estável.

d ) O movimento não será periódico.

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