Exercícios Resolvidos de Equilíbrios

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Enunciado

Um corpo de massa m = 1,9   k g se move em uma dimensão ao longo do eixo x . Sua energia potencial é dada por:

U x = 9 x 3 - 6 x

Onde x é dado em metros e U em joules. O gráfico representa a variação da energia potencial em função da distância. Caso seja necessário, use 2 = 1,4 .

a) Calcule a força exercida sobre o corpo em função de x .

b) Calcule a(s) posição(ões) de equilíbrio, marque-a(s) como ponto(s) de equilíbrio estável, instável ou indiferente. Justifique sua resposta.

c) Assumindo que o corpo esteja inicialmente no ponto de equilíbrio à direita da origem, a partir de qual valor para a velocidade o movimento deixa de ser oscilatório?

Passo 1

a)

Basta lembrar que a força é igual a menos a derivada da energia potencial.

F = - d U d x = - 9   .   3 x 2 - 6 = - 27 x 2 + 6

Passo 2

Os pontos de equilíbrio ocorrem quando F = 0 , então:

27 x 2 + 6 = 0

x = ± 6 27 = ± 2 3   m

Esses dois pontos são representados nessa figura:

x = + 2 3   m → E s t á v e l ,   p o r   s e r   u m   p o n t o   d e   m í n i m o .

x = - 2 3   m → I n s t á v e l ,   p o r   s e r   u m   p o n t o   d e   m á x i m o .

Passo 3

c)

O movimento deixa de ser oscilatório se o corpo alcançar o ponto de equilíbrio a esquerda da origem. Então vamos calcular a variação de energia cinética entre esses pontos para descobrir a velocidade necessária para alcançar o ponto de equilíbrio instável.

Δ K = Δ U = U x f - U x i = U - 2 3 - U + 2 3

1 2 m v 2 = 9   .   - 2 3 3 - 6 - 2 3 - 9   .   2 3 3 - 6   . 2 3

1 2 m v 2 = 1,9 + 1,9 = 3,8

v = 3,8   .   2 1,9

v = 2   m / s

Resposta

a)

F = - 27 x 2 + 6

b)

x = + 2 3   m → E s t á v e l

x = - 2 3   m → I n s t á v e l

c)

v = 2   m / s

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