Exercícios Resolvidos de Equilíbrios

Conservação de Energia Mecânica

Um próton de massa m se move em uma dimensão na presença de uma força cuja energia potencial é dada por:

U x = a x 2 - b x

Sendo a e b constantes positivas. O próton é liberado do repouso no ponto x 0 = a / b

a) Calcule U x 0 .

b) Escreva qual(is) é(são) o(s) ponto(s) de equilíbrio, e classifique-o(s) como estável, instável ou indiferente, fundamentando a classificação.

c) Calcule a velocidade do próton em função da posição x .

Passo 1

a)

Se nós mexermos um pouco na fórmula da energia potencial, podemos facilitar esse conta:

U x 0 = a x 0 2 - b x 0 = a x 0 2 1 - b a x 0

Agora se substituirmos x 0 = a / b :

U x 0 = a x 0 1 - b a a b

U x 0 = a x 0   .   0 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Do gráfico, pode-se ver que há um ponto de equilíbrio estável em x ≅ 2 x 0 (um ponto de mínimo). Se não fosse possível ver o valor de x naquele ponto, poderíamos também utilizar F = - d U d x , igualando a força à zero.

Além disso, tem também um p o n t o   d e   e q u i l í b r i o   i n d i f e r e n t e , ou seja, não é nem equilíbrio instável nem estável, é uma reta horizontal. Pelo gráfico, podemos ver que isso ocorre quando x → ∞ .

Passo 3

c)

A energia mecânica do próton é calculada por:

E = K + U

Em x 0 o próton é liberado do repouso, portanto, K = 0 e como calculamos no item (a), U = 0 , Logo E = 0 .

Para x > x 0 , por conservação de energia mecânica, E = 0 . Logo

0 = K x + U x = 1 2 m v x 2 + U x

v x 2 = - 2 m U x

Se utilizarmos a simplificação que fizemos no item (a):

U x = a x 2 - b x = a x 2 1 - b a x

Entretanto temos que 1 / x 0 = b / a :

U x = a x 2 1 - x x 0

Substituindo na equação:

v x 2 = 2 m . a x 2 x x 0 - 1

v x = 2 a m x x 0 - 1 . 1 x

Resposta

a)

U x 0 = 0

b)

ponto de equilíbrio estável em x ≅ 2 x 0

ponto de equilíbrio indiferente em x → ∞

c)

v x = 2 a m x x 0 - 1 . 1 x

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