Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

Determine o domínio e resolva em R a seguinte desigualdade:

1 1 - x ≥ 1

Passo 1

Vamos começar determinando o domínio. Não podemos ter divisão por zero, então precisamos que:

1 - x ≠ 0

x ≠ 1

Essa é a nossa única restrição nesse caso, então teremos:

D = x ∈ R : x ≠ 1

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Passo 2

Determinado o domínio, vamos olhar para nossa inequação. A melhor coisa a fazer para não ter erro, é isolar tudo de um lado e determinar o MMC. Então vamos fazer isso:

1 1 - x ≥ 1

1 1 - x - 1 ≥ 0

1 1 - x - 1 - x 1 - x ≥ 0

x 1 - x ≥ 0

Com zero do outro lado, podemos verificar os sinais por meio de tabela.

Passo 3

Temos que nossa inequação equivalente será:

x 1 - x ≥ 0

Que é exatamente a mesma coisa que:

x - x - 1 ≥ 0

x x - 1 ≤ 0

Com termos de raízes:

x = 0

x = 1

Então criamos cada um dos intervalos:

x < 0

0 < x < 1

x > 1

Assim, colocamos o intervalo na primeira linha da tabela e os termos na primeira coluna:

Passo 4

Montada a tabela, testamos os sinais de cada termo para cada intervalo. Para o primeiro, queremos x < 0 . x = - 1 satisfaz, então substituímos:

x = - 1 < 0

x - 1 ⟹ - 1 - 1 = - 2 < 0

Assim, teremos:

Para 0 < x < 1 agora, temos x = 1 / 2 que satisfaz. Então:

x = 1 / 2 > 0

x - 1 ⟹ 1 / 2 - 1 = - 1 / 2 < 0

Assim:

Quase lá, falta x > 1 . Para esse intervalo, temos x = 2 que satisfaz. Então:

x = 2 > 0

x - 1 ⟹ 2 - 1 = 1 > 0

Assim:

Passo 5

Com os sinais determinados, vamos criar uma nova linha com o sinal equivalente que será o sinal da nossa inequação. Para determinar o sinal equivalente, usamos a regrinha dos sinais:

- - ⟹ +

- + ⟹ -

+ - ⟹ -

Assim, vamos ter:

Passo 6

Então, para nossa inequação equivalente:

x x - 1 ≤ 0

queremos ≤ 0 , então nos interessam os intervalos em que temos o sinal de ( - ) . Isso corresponde ao intervalo 0 < x < 1 . Além disso, queremos menor ou igual, então nosso ajuste natural seria:

0 ≤ x ≤ 1

Mas lembra lá do nosso domínio:

D = x ∈ R : x ≠ 1

x = 1 não faz parte do domínio, porque zera o denominador e provoca uma divisão por zero! Então, apesar de termos ≤ 0 , consideramos:

0 ≤ x < 1

Excluindo justamente o ponto fora do domínio. Assim, temos:

S = x ∈ R : 0 ≤ x < 1

Ou então:

S = x ∈ R : x ∈ 0,1

Resposta

D = x ∈ R : x ≠ 1

S = x ∈ R : x ∈ 0,1

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