Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

Encontrar todos os números reais x tais que:

x - 1 x + 1 > 0

Passo 1

Já temos aí os termos descriminados. Não muda nada em termos de sinal o fato dos termos estarem dividindo e não multiplicando. Então basta determinar as raízes de cada termo para montar a tabela:

x - 1 = 0 ⟹ x = 1

x + 1 ⟹ x = - 1

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Passo 2

Encontradas as raízes, criamos intervalos entre cada uma delas. Neste caso teremos:

x < - 1

- 1 < x < 1

x > 1

Colocamos esses intervalos na primeira linha e os termos na primeira coluna da tabela:

Passo 3

Montada a tabela, testamos os sinais de cada termo para cada intervalo. Para o primeiro, queremos x < - 1 . x = - 2 satisfaz, então substituímos:

x - 1 = 0 ⟹ - 2 - 1 = - 3 < 0

x + 1 ⟹ - 2 + 1 = - 1 < 0

Assim, teremos:

Para - 1 < x < 1 agora, temos x = 0 que satisfaz. Então:

x - 1 = 0 ⟹ 0 - 1 = - 1 < 0

x + 1 ⟹ 0 + 1 = 1 > 0

Assim:

Quase lá, falta x > 1 . Para esse intervalo, temos x = 2 que satisfaz. Então:

x - 1 = 0 ⟹ 2 - 1 = 1 > 0

x + 1 ⟹ 2 + 1 = 3 > 0

Assim:

Passo 4

Com os sinais determinados, vamos criar uma nova linha com o sinal equivalente que será o sinal da nossa inequação. Para determinar o sinal equivalente, usamos a regrinha dos sinais:

- - ⟹ +

- + ⟹ -

+ - ⟹ -

Assim, teremos:

Passo 5

Então, para nossa inequação:

x - 1 x + 1 > 0

Logo, como temos > 0 , nos interessam os intervalos em que temos o sinal de ( + ) que corresponde aos intervalos x < - 1 e x > 1 . Assim:

S = x ∈ R : x < - 1   o u   x > 1

Ou então:

S = x ∈ R : x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 1 , ∞

Resposta

S = x ∈ R : x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 1 , ∞

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