Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

Determine o domínio e resolva a seguinte inequação em R :

x 2 - 16 x + 1 < 0

Passo 1

Vamos começar determinando o domínio. Como tempos aqui uma razão de polinômios, o domínio será todo R exceto os pontos onde o denominador se anula. Neste caso em:

x + 1 = 0 ⟹ x = - 1

Assim:

D = x ∈ R : x ≠ - 1

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Passo 2

Agora, vamos resolver a inequação. Para isso, vamos fatorar o máximo possível. Temos que:

x 2 - 16 = x + 4 x - 4

Então ficamos com:

x 2 - 16 x + 1 < 0

x + 4 x - 4 x + 1 < 0

Passo 3

Com tudo fatorado, vamos colocar cada termo em tabela e testar os sinais. Temos as raízes:

x = - 4

x = - 1

x = 4

Então criamos cada um dos intervalos:

x < - 4

- 4 < x < - 1

- 1 < x < 4

x > 4

Assim, colocamos o intervalo na primeira linha da tabela e os termos na primeira coluna:

Passo 4

Montada a tabela, testamos os sinais de cada termo para cada intervalo. Para o primeiro, queremos x < - 4 . x = - 5 satisfaz, então substituímos:

x + 1 ⟹ - 5 + 1 = - 4 < 0

x + 4 ⟹ - 5 + 4 = - 1 < 0

x - 4 ⟹ - 5 - 4 = - 9 < 0

Assim, teremos:

Para - 4 < x < - 1 agora, temos x = - 2 que satisfaz. Então:

x + 1 ⟹ - 2 + 1 = - 1 < 0

x + 4 ⟹ - 2 + 4 = 2 > 0

x - 4 ⟹ - 2 - 4 = - 6 < 0

Assim:

Para - 1 < x < 4 agora, temos x = 0 que satisfaz. Então:

x + 1 ⟹ 0 + 1 = 1 > 0

x + 4 ⟹ 0 + 4 = 4 > 0

x - 4 ⟹ 0 - 4 = - 4 < 0

Quase lá, falta x > 4 . Para esse intervalo, temos x = 5 que satisfaz. Então:

x + 1 ⟹ 5 + 1 = 6 > 0

x + 4 ⟹ 5 + 4 = 9 > 0

x - 4 ⟹ 5 - 4 = 1 > 0

Assim:

Passo 5

Com os sinais determinados, vamos criar uma nova linha com o sinal equivalente que será o sinal da nossa inequação. Para determinar o sinal equivalente, usamos a regrinha dos sinais:

- - ⟹ +

- + ⟹ -

+ - ⟹ -

E vamos operar dois a dois para não ter erro. Para cada uma das colunas da esquerda para direita:

- - - ≡ + - ≡ -

- + - ≡ - - ≡ +

+ + - ≡ + - ≡ -

+ + + ≡ + + ≡ +

Assim, vamos ter:

Passo 6

Então, para nossa inequação equivalente:

x + 4 x - 4 x + 1 < 0

queremos < 0 , então nos interessam os intervalos em que temos o sinal de ( - ) . Isso corresponde aos intervalos x < - 4 e - 1 < x < 4 :

S = x ∈ R : x < - 4     o u   - 1 < x < 4

Ou então:

S = x ∈ R : x ∈ - ∞ , - 4 ∪ - 1,4

Resposta

D = x ∈ R : x ≠ - 1

S = x ∈ R : x ∈ - ∞ , - 4 ∪ - 1,4

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