Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

Encontrar todos os números reais x tais que:

x + 1 3 - x x - 2 2 ≤ 0

Passo 1

Já temos aí os termos descriminados. Então basta determinar as raízes de cada termo para montar a tabela, mas antes de fazer isso, vamos olhar para o último termo. Temos que:

x - 2 2 ≥ 0

Já que é um termo ao quadrado. Porém, a inequação pede ≥ 0 , e em x = 2

x - 2 2 = 0

Zerando toda a inequação e satisfazendo o problema. Então o ponto x = 2 deve fazer parte da solução. Vamos voltar a isso mais para frente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Entendido isso, vamos encontrar as raízes dos demais termos:

x + 1 = 0 ⟹ x = - 1

3 - x ⟹ x = 3

Passo 3

Encontradas as raízes, criamos intervalos entre cada uma delas. Neste caso teremos:

x < - 1

- 1 < x < 3

x > 3

Colocamos esses intervalos na primeira linha e os termos na primeira coluna da tabela:

Passo 4

Montada a tabela, testamos os sinais de cada termo para cada intervalo. Para o primeiro, queremos x < - 1 . x = - 2 satisfaz, então substituímos:

x + 1 ⟹ - 2 + 1 = - 1 < 0

3 - x ⟹ 3 - - 2 = 5 > 0

Assim, teremos:

- 1 < x < 3 agora, temos x = 0 que satisfaz. Então:

x + 1 ⟹ 0 + 1 = 1 > 0

3 - x ⟹ 3 - 0 = 3 > 0

Assim:

Quase lá, falta x > 3 . Para esse intervalo, temos x = 4 que satisfaz. Então:

x + 1 ⟹ 4 + 1 = 5 > 0

3 - 4 ⟹ 3 - 4 = - 1 < 0

Assim:

Passo 5

Com os sinais determinados, vamos criar uma nova linha com o sinal equivalente que será o sinal da nossa inequação. Para determinar o sinal equivalente, usamos a regrinha dos sinais:

- - ⟹ +

- + ⟹ -

+ - ⟹ -

Assim, vamos ter:

Passo 6

Então, para nossa inequação:

x + 1 3 - x x - 2 2 ≥ 0

queremos ≤ 0 , então nos interessam os intervalos em que temos o sinal de ( - ) . Isso corresponde aos intervalos x < - 1 e x > 3 . Porém, com queremos para menor ou igual, ajustamos para:

x ≤ - 1   o u   x ≥ 3

Há também um detalhe bastante importante. Lembra que x = 2 satisfaz a nossa inequação? Esse ponto não pertence a nenhum dos intervalos, então devemos incluí-lo na solução:

S = x ∈ R : x ≤ - 1   o u   x ≥ 3   o u   x = 2

Dessa forma com o x = 2 . Ou então:

S = x ∈ R : x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 3 , + ∞ ∪ 2

Unindo com o elemento 2 .

Resposta

S = x ∈ R : x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 3 , + ∞ ∪ 2

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