Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

Encontrar todos os números reais x tais que:

x - 1 x - 3 ≥ 0

Passo 1

Temos aqui justamente um produto de polinômios e queremos verificar quando esse produto é maior ou igual a zero. Para verificar isso, determinamos os pontos em que cada um dos termos será igual a zero e montamos uma tabelinha esperta com os intervalos entre os pontos.

Temos o primeiro termo x - 1 . Igualando a zero: x - 1 = 0 ⟹ x = 1

Da mesma forma:

x - 3 = 0 ⟹ x = 3

Então, vamos ter os intervalos em que x < 1 , 1 < x < 3 , x > 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos montar a tabela, colocando cada um dos termos na primeira coluna e os intervalos na primeira linha:

Agora, testamos o sinal de cada termo entre os intervalos. Para começar, queremos x < 1 . x = 0 satisfaz essa condição, então testamos com ele:

x - 1 ⟹ 0 - 1 = - 1 < 0

x - 3 ⟹ 0 - 3 < 0

Assim, teremos:

1 < x < 3 . x = 2 satisfaz, então temos: x - 1 ⟹ 2 - 1 = 1 > 0

x - 3 ⟹ 2 - 3 = - 1 < 0

Então teremos:

Para terminar, x > 3 . x = 4 satisfaz, então temos: x - 1 ⟹ 4 - 1 = 3 > 0

x - 3 ⟹ 4 - 3 = 1 > 0

Assim:

Passo 3

Agora, criamos uma linha com o sinal equivalente, que será o sinal da expressão da nossa inequação. Para encontrar o sinal equivalente, só usar a regrinha dos sinais:

- - ⟹ +

- + ⟹ -

+ - ⟹ -

+ + ⟹ +

Assim, vamos ter:

Como nossa inequação é:

x - 1 x - 3 ≥ 0

Queremos a parte maior ou igual a zero, então pegamos o intervalo com o sinal de ( + ) :

x < 1 ,   x > 3

Só que, como temos o sinal de maior ou igual, ajustamos colocando:

x ≤ 1 ,   x ≥ 3

Ficando

S = x ∈ R : x ≤ 1   o u   x ≥ 3

Ou, se preferir:

S = x ∈ - ∞ , 1 ∪ 3 , ∞

Em que simboliza a união desses intervalos.

Resposta

S = x ∈ - ∞ , 1 ∪ 3 , + ∞

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas