Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

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Enunciado

Determine o domínio e resolva em R a seguinte desigualdade:

1 x - 1 ≥ 1

Passo 1

Vamos começar determinando o domínio. Não podemos ter divisão por zero, então precisamos que:

x - 1 ≠ 0

x ≠ 1

Essa é a nossa única restrição nesse caso, então teremos:

D = x ∈ R : x ≠ 1

Passo 2

Determinado o domínio, vamos olhar para nossa inequação. A melhor coisa a fazer para não ter erro, é isolar tudo de um lado e determinar o MMC. Então vamos fazer isso:

1 x - 1 ≥ 1

1 x - 1 - 1 ≥ 0

1 x - 1 - x - 1 x - 1 ≥ 0

2 - x x - 1 ≥ 0

Com zero do outro lado, podemos verificar os sinais por meio de tabela.

Passo 3

Temos que nossa inequação equivalente será:

2 - x x - 1 ≥ 0

Com termos de raízes:

x = 2

x = 1

Então criamos cada um dos intervalos:

x < 1

1 < x < 2

x > 2

Assim, colocamos o intervalo na primeira linha da tabela e os termos na primeira coluna:

Passo 4

Montada a tabela, testamos os sinais de cada termo para cada intervalo. Para o primeiro, queremos x < 1 . x = 0 satisfaz, então substituímos:

2 - x = 2 - 0 = 2 > 0

x - 1 ⟹ 0 - 1 = - 1 < 0

Assim, teremos:

Para 1 < x < 2 agora, temos x = 3 / 2 que satisfaz. Então:

2 - x = 2 - 3 / 2 = 1 / 2 > 0

x - 1 ⟹ 3 / 2 - 1 = 1 / 2 > 0

Assim:

Quase lá, falta x > 2 . Para esse intervalo, temos x = 3 que satisfaz. Então:

2 - x = 2 - 3 = - 1 < 0

x - 1 ⟹ 3 - 1 = 2 > 0

Assim:

Passo 5

Com os sinais determinados, vamos criar uma nova linha com o sinal equivalente que será o sinal da nossa inequação. Para determinar o sinal equivalente, usamos a regrinha dos sinais:

- - ⟹ +

- + ⟹ -

+ - ⟹ -

Assim, vamos ter:

Passo 6

Então, para nossa inequação equivalente:

2 - x x - 1 ≥ 0

queremos ≥ 0 , então nos interessam os intervalos em que temos o sinal de ( + ) . Isso corresponde ao intervalo 1 < x < 2 . Além disso, queremos maior ou igual, então nosso ajuste natural seria:

1 ≤ x ≤ 2

Mas lembra lá do nosso domínio:

D = x ∈ R : x ≠ 1

x = 1 não faz parte do domínio porque zera o denominador e provoca uma divisão por zero! Então, apesar de termos ≤ 0 , consideramos:

1 < x ≤ 2

Excluindo justamente o ponto fora do domínio. Assim, temos:

S = x ∈ R : 1 < x ≤ 2

Ou então:

S = x ∈ R : x ∈ 1,2

Resposta

D = x ∈ R : x ≠ 1

S = x ∈ R : x ∈ 1,2