Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

Determine o domínio e resolva a seguinte inequação em R :

x 2 + x + 1 x 2 - 2 x - 3 ≤ 0

Passo 1

Vamos começar determinando o domínio. Como tempos aqui uma razão de polinômios, o domínio será todo R exceto os pontos onde o denominador se anula. Neste caso em:

x 2 - 2 x - 3 = 0

vamos usar Bhaskara. Temos que

x 2 - 2 x - 3 = 0

É uma equação na forma:

a x 2 + b c + c = 0

Com:

a = 1 b = - 2 c = - 3

Assim, teremos:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores:

x = + 2 ± - 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 3 2 ⋅ 1 = 2 ± 4 + 12 2 = 2 ± 4 2

Para cada sinal:

x 1 = 2 + 4 2 = 3

x 2 = 2 - 4 2 = - 1

Logo, podemos escrever: x 2 - 2 x - 3 = x - 3 x + 1

Assim:

D = x ∈ R : x ≠ 3 , x ≠ - 1

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Passo 2

Agora, vamos resolver a inequação. Para isso, vamos fatorar o máximo possível. Temos que:

x 2 - 2 x - 3 = x - 3 x + 1

Quanto ao denominador, vamos usar Bhaskara novamente. Temos que:

x 2 + x + 1 = 0

É uma equação na forma:

a x 2 + b c + c = 0

Com:

a = 1 b = 1 c = 1

Assim, teremos:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores:

x = - 1 ± 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1 2 ⋅ 1 = - 1 ± 1 - 4 2 = - 1 ± - 3 2

Opa! Apareceu um número negativo na raiz. Como proceder? Bem, essa raiz de número negativo significa que:

x 2 + x + 1 = 0

Não possui raiz real, ou seja, seu sinal não muda nunca: ele será sempre positivo ou sempre negativo. Como saber qual o sinal? Só substituir qualquer valor. Vamos escolher x = 1 , por exemplo:

1 2 + 1 + 1 = 3 > 0

Assim, vai ser sempre positiva e vamos poder desconsiderar o numerador na nossa tabela.

Passo 3

Temos que nossa inequação equivalente será:

x 2 + x + 1 x - 3 x + 1 ≤ 0

Com raízes:

x = - 1

x = 3

Então criamos cada um dos intervalos:

x < - 1

- 1 < x < 3

x > 3

Assim, colocamos o intervalo na primeira linha da tabela e os termos na primeira coluna:

Passo 4

Montada a tabela, testamos os sinais de cada termo para cada intervalo. Para o primeiro, queremos x < - 1 . x = - 2 satisfaz, então substituímos:

x + 1 ⟹ - 2 + 1 = - 1 < 0

x - 3 ⟹ - 2 - 3 = - 5 < 0

Assim, teremos:

Para - 1 < x < 3 agora, temos x = 0 que satisfaz. Então:

x + 1 ⟹ 0 + 1 = 1 > 0

x - 3 ⟹ 0 - 3 = - 3 < 0

Assim:

Quase lá, falta x > 3 . Para esse intervalo, temos x = 4 que satisfaz. Então:

x + 1 ⟹ 4 + 1 = 5 > 0

x - 3 ⟹ 4 - 3 = 1 > 0

Assim:

Passo 5

Com os sinais determinados, vamos criar uma nova linha com o sinal equivalente que será o sinal da nossa inequação. Para determinar o sinal equivalente, usamos a regrinha dos sinais:

- - ⟹ +

- + ⟹ -

+ - ⟹ -

Assim, vamos ter:

Passo 6

Então, para nossa inequação equivalente:

x 2 + x + 1 x - 3 x + 1 ≤ 0

queremos ≤ 0 , então nos interessam os intervalos em que temos o sinal de ( - ) . Isso corresponde ao intervalo - 1 < x < 3 . Além disso, queremos menor ou igual, então nosso ajuste natural seria:

- 1 ≤ x ≤ 3

Mas lembra lá do nosso domínio:

D = x ∈ R : x ≠ 3 , x ≠ - 1

x = - 1 e x = 3 não fazem parte do domínio porque zeram o denominador e provocam uma divisão por zero! Então, apesar de termos ≤ 0 , consideramos o intervalo aberto!

S = x ∈ R : - 1 < x < 3

Ou então:

S = x ∈ R : x ∈ - 1,3

Resposta

D = x ∈ R : x ≠ 3 , x ≠ - 1

S = x ∈ R : x ∈ - 1,3

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