Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

Encontrar todos os números reais x tais que:

x + 1 x - 2 3 x - 7 x 2 + 7 ≥ 0

Passo 1

Já temos aí os termos descriminados. Então basta determinar as raízes de cada termo para montar a tabela, mas antes de fazer isso, vamos olhar para o último termo. Temos que:

x 2 + 7 > 0

Para todo x , pois x 2 ≥ 0 e 7 > 0 . Assim, não precisamos considerar esse termo na tabela, pois ele ficará sempre com o sinal de + , não mudando nada.

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Passo 2

Entendido isso, vamos encontrar as raízes dos demais termos:

x + 1 = 0 ⟹ x = - 1

x - 2 ⟹ x = 2

x - 7 ⟹ x = 7

Passo 3

Encontradas as raízes, criamos intervalos entre cada uma delas. Neste caso teremos:

x < - 1

- 1 < x < 2

2 < x < 7

x > 7

Colocamos esses intervalos na primeira linha e os termos na primeira coluna da tabela, consideramos aqui a multiplicidade do termo (grau):

Passo 4

Montada a tabela, testamos os sinais de cada termo para cada intervalo. Para o primeiro, queremos x < - 1 . x = - 2 satisfaz, então substituímos:

x + 1 ⟹ - 2 + 1 = - 1 < 0

x - 2 3 ⟹ - 2 - 2 3 = - 4 3 < 0

Isso porque elevamos um número negativo a um número ímpar ( 3 ), se fosse par, o sinal seria sempre positivo 😉

x - 7 ⟹ - 2 - 7 = - 9 < 0

Assim, teremos:

Para - 1 < x < 2 agora, temos x = 0 que satisfaz. Então:

x + 1 ⟹ 0 + 1 = 1 > 0

x - 2 3 ⟹ 0 - 2 3 = - 2 3 < 0

x - 7 ⟹ 0 - 7 = - 7 < 0

Assim:

Para 2 < x < 7 agora, temos x = 3 que satisfaz. Então:

x + 1 ⟹ 3 + 1 = 4 > 0

x - 2 3 ⟹ 3 - 2 3 = 1 3 > 0

x - 7 ⟹ 3 - 7 = - 4 < 0

Quase lá, falta x > 7 . Para esse intervalo, temos x = 8 que satisfaz. Então:

x + 1 ⟹ 8 + 1 = 9 > 0

x - 2 3 ⟹ 8 - 2 3 = 6 3 > 0

x - 7 ⟹ 8 - 7 = 1 > 0

Assim:

Passo 5

Com os sinais determinados, vamos criar uma nova linha com o sinal equivalente que será o sinal da nossa inequação. Para determinar o sinal equivalente, usamos a regrinha dos sinais:

- - ⟹ +

- + ⟹ -

+ - ⟹ -

E vamos operar dois a dois para não ter erro. Para cada uma das colunas da esquerda para direita:

- - - ≡ + - ≡ -

+ - - ≡ - - ≡ +

+ + - ≡ + - ≡ -

+ + + ≡ + + ≡ +

Assim, vamos ter:

Passo 6

Então, para nossa inequação:

x + 1 x - 2 3 x - 7 x 2 + 7 ≥ 0

queremos ≥ 0 , então nos interessam os intervalos em que temos o sinal de ( + ) . Isso corresponde aos intervalos - 1 < x < 2 e x > 7 . Porém, com queremos para maior ou igual, ajustamos para

S = x ∈ R : - 1 ≤ x ≤ 2     o u   x ≥ 7

Ou então:

S = x ∈ R : x ∈ - 1,2 ∪ 7 , + ∞

Resposta

S = x ∈ R : x ∈ - 1,2 ∪ 7 , + ∞

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