Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

Determine o domínio e resolva em R a seguinte desigualdade:

1 2 - x + 5 2 + x < 1

Passo 1

Vamos começar determinando o domínio. Não podemos ter divisão por zero, então precisamos que:

2 - x ≠ 0 ⟹ x ≠ 2

2 + x ≠ 0 ⟹ x ≠ - 2

Essa é a nossa única restrição nesse caso, então teremos:

D = x ∈ R : x ≠ 2 ,   x ≠ - 2

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Passo 2

Determinado o domínio, vamos olhar para nossa inequação. A melhor coisa a fazer para não ter erro, é isolar tudo de um lado e determinar o MMC. Então vamos fazer isso:

1 2 - x + 5 2 + x < 1

1 2 - x + 5 2 + x - 1 < 0

2 + x 2 - x 2 + x + 5 2 - x 2 - x 2 + x - 2 - x 2 + x 2 - x 2 + x < 0

2 + x + 5 2 - x - 2 - x 2 + x 2 - x 2 + x < 0

Vamos distribuir o numerador para simplificar:

2 + x + 5 2 - x - 2 - x 2 + x

2 + x + 10 - 5 x - 4 - x 2

12 - 4 x - 4 + x 2

x 2 - 4 x + 8

Ficando:

x 2 - 4 x + 8 2 - x 2 + x < 0

Passo 3

Agora vamos fatorar o numerador para separar tudo em termos. Temos no numerador uma equação na forma: a x 2 + b x + c = 0

Com:

a = 1 b = - 4 c = 8

Sendo:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores:

x = 4 ± - 4 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 8 2 ⋅ 1 = 4 ± 16 - 32 2 = 4 ± - 16 2

Essa raiz com número negativo indica que não temos raiz real, logo, temos que deixar nessa forma mesmo:

x 2 - 4 x + 8 2 - x 2 + x < 0

E o numerador vai ser sempre positivo, ou sempre negativo. Para saber o sinal, vamos substituir qualquer valor, como x = 1 :

x 2 - 4 x + 8 = 1 2 - 4 ⋅ 1 + 8 = 5 > 0

Logo:

x 2 - 4 x + 8 > 0

Para todo x e podemos desconsiderar na hora de montar a nossa tabela.

Passo 4

Temos que nossa inequação equivalente será:

x 2 - 4 x + 8 2 - x 2 + x < 0

Com termos de raízes:

x = 2

x = - 2

Então criamos cada um dos intervalos:

x < - 2

- 2 < x < 2

x > 2

Assim, colocamos o intervalo na primeira linha da tabela e os termos na primeira coluna:

Passo 5

Montada a tabela, testamos os sinais de cada termo para cada intervalo. Para o primeiro, queremos x < - 2 . x = - 3 satisfaz, então substituímos:

2 - x = 2 - - 3 = 5 > 0

2 + x ⟹ 2 - 3 = - 1 < 0

Assim, teremos:

Para - 2 < x < 2 agora, temos x = 0 que satisfaz. Então:

2 - x = 2 - 0 = 2 > 0

2 + x ⟹ 2 + 0 = 2 > 0

Assim:

Quase lá, falta x > 2 . Para esse intervalo, temos x = 3 que satisfaz. Então:

2 - x = 2 - 3 = - 1 < 0

2 + x ⟹ 2 + 3 = 5 > 0

Assim:

Passo 6

Com os sinais determinados, vamos criar uma nova linha com o sinal equivalente que será o sinal da nossa inequação. Para determinar o sinal equivalente, usamos a regrinha dos sinais:

- - ⟹ +

- + ⟹ -

+ - ⟹ -

Assim, vamos ter:

Passo 7

Então, para nossa inequação equivalente:

x 2 - 4 x + 8 2 - x 2 + x < 0

queremos < 0 , então nos interessam os intervalos em que temos o sinal de ( - ) . Isso corresponde aos intervalos x < - 2 e x > 2 . Assim, temos:

S = x ∈ R : x < - 2   o u   x > 2

Ou então:

S = x ∈ R : x ∈ - ∞ , 2 ∪ 2 , + ∞

Resposta

D = x ∈ R : x ≠ 2 ,   x ≠ - 2

S = x ∈ R : x ∈ - ∞ , 2 ∪ 2 , + ∞

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