Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

Determine o domínio e resolva em R a seguinte desigualdade:

x + 1 x - 3 ≤ x - 2 x + 4

Passo 1

Vamos começar determinando o domínio. Não podemos ter divisão por zero, então precisamos que:

x - 3 ≠ 0 ⟹ x ≠ 3

x + 4 ≠ 0 ⟹ x ≠ - 4

Essa é a nossa única restrição nesse caso, então teremos:

D = x ∈ R : x ≠ 3 ,   x ≠ - 4

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Passo 2

Determinado o domínio, vamos olhar para nossa inequação. A melhor coisa a fazer para não ter erro, é isolar tudo de um lado e determinar o MMC. Então vamos fazer isso:

x + 1 x - 3 ≤ x - 2 x + 4

x + 1 x - 3 - x - 2 x + 4 ≤ 0

Juntando tudo e simplificando:

x + 1 x + 4 - x - 2 x - 3 x - 3 x + 4 ≤ 0

Sendo:

x + 1 x + 4 = x 2 + x + 4 x + 4 = x 2 + 5 x + 4

x - 2 x - 3 = x 2 - 3 x - 2 x + 6 = x 2 - 5 x + 6

Logo:

x + 1 x + 4 - x - 2 x - 3 = x 2 + 5 x + 4 - x 2 + 5 x - 6 = 10 x - 2

Ficando:

10 x - 2 x - 3 x + 4 ≤ 0

Passo 3

Temos então a seguinte inequação equivalente:

10 x - 2 x - 3 x + 4 ≤ 0

Com termos de raízes:

10 x - 2 = 0 ⟹ x = 1 5

x = 3

x = - 4

Então criamos cada um dos intervalos:

x < - 4

- 4 < x < 1 / 5

1 / 5 < x < 3

x > 3

Assim, colocamos o intervalo na primeira linha da tabela e os termos na primeira coluna:

Passo 4

Montada a tabela, testamos os sinais de cada termo para cada intervalo. Para o primeiro, queremos x < - 4 . x = - 5 satisfaz, então substituímos nos termos:

x - 3 ⟹ - 5 - 3 = - 8 < 0

10 x - 2 ⟹ 10 - 5 - 2 = - 52 < 0

x + 4 ⟹ - 5 + 4 = - 1 < 0

Assim, teremos:

Para - 4 < x < 1 / 5 agora, temos x = 0 que satisfaz. Então:

x - 3 ⟹ 0 - 3 = - 3 < 0

10 x - 2 ⟹ 10 0 - 2 = - 2 < 0

x + 4 ⟹ 0 + 4 = 4 > 0

Assim:

Para 1 / 5 < x < 3 agora, temos x = 1 que satisfaz. Então:

x - 3 ⟹ 1 - 3 = - 2 < 0

10 x - 2 ⟹ 10 1 - 2 = 8 > 0

x + 4 ⟹ 1 + 4 = 5 > 0

Assim:

Quase lá, falta x > 3 . Para esse intervalo, temos x = 4 que satisfaz. Então:

x - 3 ⟹ 4 - 3 = 1 > 0

10 x - 2 ⟹ 10 4 - 2 = 38 > 0

x + 4 ⟹ 4 + 4 = 8 > 0

Assim:

Passo 5

Com os sinais determinados, vamos criar uma nova linha com o sinal equivalente que será o sinal da nossa inequação. Para determinar o sinal equivalente, usamos a regrinha dos sinais:

- - ⟹ +

- + ⟹ -

+ - ⟹ -

E vamos operar dois a dois para não ter erro. Para cada uma das colunas da esquerda para direita:

- - - ≡ + - ≡ -

- - + ≡ + + ≡ +

- + + ≡ - + ≡ -

+ + + ≡ + + ≡ +

Assim, vamos ter:

Passo 6

Então, para nossa inequação equivalente:

10 x - 2 x - 3 x + 4 ≤ 0

queremos ≤ 0 , então nos interessam os intervalos em que temos o sinal de ( - ) . Isso corresponde aos intervalos x < - 4 e 1 / 5 < x < 3 . Além disso, queremos valores menores ou igual, então a correção natural seria:

  x ≤ - 4   e   1 / 5 ≤ x ≤ 3

Mas temos sempre que lembrar do nosso querido domínio nessas horas. Olha ele aqui:

D = x ∈ R : x ≠ 3 ,   x ≠ - 4

Então, de forma alguma podemos ter:

x = 3   o u   x = 4

Ou seja, precisamos excluir esses pontos da solução. Logo teremos:

x < - 4   e   1 / 5 ≤ x < 3

E então:

S = x ∈ R : x < - 4   o u   1 / 5 ≤ x < 3

Ou então:

S = x ∈ R : x ∈ - ∞ , - 4 ∪ 1 / 5,3

Resposta

D = x ∈ R : x ≠ 3 ,   x ≠ - 4

S = x ∈ R : x ∈ - ∞ , - 4 ∪ 1 / 5,3

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