Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

Determine o domínio e resolva em R a seguinte desigualdade:

2 x - 5 x 2 - 6 x - 7 < 1 x - 3

Passo 1

Vamos começar determinando o domínio. Não podemos ter divisão por zero, então precisamos que:

x 2 - 6 x - 7 ≠ 0

x - 3 ≠ 0

Para determinar esses pontos, vamos calcular as raízes. Para o polinômio de segundo grau, temos uma equação correspondente:

x 2 - 6 x - 7 = 0

Que é uma equação na forma: a x 2 + b x + c = 0

Com:

a = 1 b = - 6 c = - 7

Sendo:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores:

x = 6 ± - 6 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 7 2 ⋅ 1 = 6 ± 36 + 28 2 = 6 ± 64 2 = 6 ± 8 2 = 3 ± 4

Assim, para cada sinal:

x 1 = 3 + 4 = 7

x 2 = 3 - 4 = - 1

Logo, podemos reescrever tudo na forma: 2 x - 5 x 2 - 6 x - 7 < 1 x - 3

2 x - 5 x - 7 x + 1 < 1 x - 3

Logo, precisamos que:

x - 7 ≠ 0 ⟹ x ≠ 7

x + 1 ≠ 0 ⟹ x ≠ - 1

x - 3 ≠ 0 ⟹ x ≠ 3

Essa é a nossa única restrição nesse caso, então teremos:

D = x ∈ R : x ≠ 7 ,   x ≠ - 1 , x ≠ 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Determinado o domínio, vamos olhar para nossa inequação. A melhor coisa a fazer para não ter erro, é isolar tudo de um lado e determinar o MMC. Então vamos fazer isso:

2 x - 5 x 2 - 6 x - 7 < 1 x - 3

2 x - 5 x 2 - 6 x - 7 - 1 x - 3 < 0

2 x - 5 x - 3 x 2 - 6 x - 7 x - 3 - x 2 - 6 x - 7 x - 3 x 2 - 6 x - 7 < 0

2 x - 5 x - 3 - x 2 + 6 x + 7 x 2 - 6 x - 7 x - 3 < 0

Vamos simplificar o numerador. Distribuindo:

2 x - 5 x - 3 = 2 x 2 - 5 x - 6 x + 15 = 2 x 2 - 11 x + 15

Ficando:

2 x - 5 x - 3 - x 2 + 6 x + 7 = 2 x 2 - 11 x + 15 - x 2 + 6 x + 7

= x 2 - 5 x + 22

Ficando então:

x 2 - 5 x + 22 x - 7 x + 1 x - 3 < 0

Passo 3

Agora, vamos fatorar o polinômio de cima, para deixar tudo em termos. Temos uma equação correspondente:

x 2 - 5 x + 22 = 0

Que é uma equação na forma: a x 2 + b x + c = 0

Com:

a = 1 b = - 5 c = 22

Sendo:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores:

x = 5 ± - 5 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 22 2 ⋅ 1 = 6 ± 25 - 88 2 = 6 ± - 63 2

Como temos um número negativo na raiz, não temos raízes reais e será sempre positivo ou negativo. Para saber, testamos qualquer valor, como x = 1 , por exemplo:

x 2 - 5 x + 22 = 0

1 2 - 5 ⋅ 1 + 22 = 18 > 0

Logo, será sempre positivo e podemos ignorar na hora de fazer nossa tabela, pois não vai alterar o sinal.

Passo 4

Temos então a seguinte inequação equivalente:

x 2 - 5 x + 22 x - 7 x + 1 x - 3 < 0

Com termos de raízes:

x = 7

x = - 1

x = 3

Então criamos cada um dos intervalos:

x < - 1

- 1 < x < 3

3 < x < 7

x > 7

Assim, colocamos o intervalo na primeira linha da tabela e os termos na primeira coluna:

Passo 5

Montada a tabela, testamos os sinais de cada termo para cada intervalo. Para o primeiro, queremos x < - 1 . x = - 2 satisfaz, então substituímos nos termos:

x - 7 ⟹ - 2 - 7 = - 9 < 0

x - 3 ⟹ - 2 - 3 = - 5 < 0

x + 1 ⟹ - 3 + 1 = - 2 < 0

Assim, teremos:

Para - 1 < x < 3 agora, temos x = 0 que satisfaz. Então:

x - 7 ⟹ 0 - 7 = - 7 < 0

x - 3 ⟹ 0 - 3 = - 3 < 0

x + 1 ⟹ 0 + 1 = 1 > 0

Assim:

Para 3 < x < 7 agora, temos x = 4 que satisfaz. Então:

x - 7 ⟹ 4 - 7 = - 3 < 0

x - 3 ⟹ 4 - 3 = 1 > 0

x + 1 ⟹ 4 + 1 = 5 > 0

Assim:

Quase lá, falta x > 7 . Para esse intervalo, temos x = 8 que satisfaz. Então:

x - 7 ⟹ 8 - 7 = 1 > 0

x - 3 ⟹ 8 - 3 = 5 > 0

x + 1 ⟹ 8 + 1 = 9 > 0

Assim:

Passo 6

Com os sinais determinados, vamos criar uma nova linha com o sinal equivalente que será o sinal da nossa inequação. Para determinar o sinal equivalente, usamos a regrinha dos sinais:

- - ⟹ +

- + ⟹ -

+ - ⟹ -

E vamos operar dois a dois para não ter erro. Para cada uma das colunas da esquerda para direita:

- - - ≡ + - ≡ -

- - + ≡ + + ≡ +

- + + ≡ - + ≡ -

+ + + ≡ + + ≡ +

Assim, vamos ter:

Passo 7

Então, para nossa inequação equivalente:

x 2 - 5 x + 22 x - 7 x + 1 x - 3 < 0

queremos < 0 , então nos interessam os intervalos em que temos o sinal de ( - ) . Isso corresponde aos intervalos x < - 1 e 3 < x < 7 . Assim, temos:

S = x ∈ R : x < - 1   o u   3 < x < 7

Ou então:

S = x ∈ R : x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 3,7

Resposta

D = x ∈ R : x ≠ 7 ,   x ≠ - 1 , x ≠ 3

S = x ∈ R : x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 3,7

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